Determinar os algarismos x e y de modo que o inteiro:
514 x y seja divisível por 8 e por 9 .

Passo 1

O enunciado nos dá o número inteiro 514xy e pede os dígitos x e y tais que ele seja divisível por 8 e por 9. Para isso usaremos duas regras clássicas:
  1. A divisibilidade por 9 exige que a soma dos dígitos seja múltiplo de 9.
  2. A divisibilidade por 8 exige que os últimos três dígitos formem um número múltiplo de 8.

Passo 2

Aplicando a regra da soma dos dígitos para 9, temos:
5 + 1 + 4 + x + y = 10 + x + y
deve ser múltiplo de 9. Logo
10 + x + y equiv 0 pmod9
Isto implica
x + y = 8 ou x + y = 17,
pois 10 + (8) = 18 e 10 + (17) = 27 são os múltiplos de 9 possíveis dentro de 0<= x,y<=9.

Passo 3

Para a divisibilidade por 8, consideramos os três últimos dígitos do número, que formam
4,x,y = 400 + 10x + y
Como 400 já é múltiplo de 8, precisamos de
10x + y equiv 0 pmod8
Reduzindo 10equiv2pmod8, obtemos
2x + y equiv 0 pmod8;Longrightarrow;y equiv -2x pmod8
Calculando para x=0,1,2,dots,9, achamos os pares (x,y) candidatos:
(0,0),,(1,6),,(2,4),,(3,2),,(4,0),,(5,6),,(6,4),,(7,2),,(8,0),,(9,6).

Passo 4

Fazendo a interseção desses candidatos com as somas x+y=8 ou 17, vemos que o único par que satisfaz também x+y=8 é
(x,y) = (8,0).
Nenhum par atinge soma 17.

Resposta

x = 8 e y = 0.

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