Determine o último algarismo (algarismo das unidades) do número 14(^(14^14).

Passo 1

O enunciado pede o algarismo das unidades de
14^(14^14)
Ou seja, queremos o valor de
14^14^14bmod 10
Para isso, vamos usar noções de aritmética modular e o fato de que o algarismo das unidades de uma potência depende apenas do resto da base módulo 10 e do padrão cíclico dos seus resíduos.

Passo 2

Note que
14 equiv 4 pmod10,
então
14^14^14equiv 4^14^14pmod10
Isso significa que basta encontrar o algarismo das unidades de 4^,14^14.

Passo 3

Vamos analisar o ciclo de potências de 4 módulo 10. Em módulo 10 temos:
4^1 equiv 4 pmod10, 4^2 equiv 6 pmod10, 4^3 equiv 4 pmod10, 4^4 equiv 6 pmod10,dots
Perceba que o ciclo é de período 2: para expoente ímpar dá 4 e para expoente par dá 6.

Passo 4

Agora precisamos saber se o expoente 14^14 é par ou ímpar. Como 14 é um número par, qualquer potência de 14 também é par. Logo
14^14equiv 0pmod2,
isto é, 14^14 é par.

Passo 5

No ciclo de período 2 de 4^npmod10, quando n é par o algarismo das unidades é 6. Como acabamos de ver que 14^14 é par, concluímos:
4^14^14equiv 6pmod10
Portanto, o algarismo das unidades de 14^14^14 é 6.

Resposta

6

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