Determine o valor extremo absoluto para cada função no intervalo. Então esboce o gráfico da função, identi-
fique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua as coordenadas.
19. g(x)=\operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{4}\right), \quad 0 \leq x \leq \frac{7 \pi}{4}

Passo 1

Temos a função
g(x)=\operatorname{sen}\Bigl(x+\frac{\pi}{4}\Bigr)
no intervalo fechado \bigl[0,\tfrac{7\pi}{4}\bigr]. Para encontrar os extremos absolutos de uma função contínua em intervalo fechado, vamos: (i) calcular a derivada e achar os pontos críticos onde g'(x)=0; (ii) avaliar g nesses pontos e nos extremos do intervalo; (iii) comparar os valores para identificar máximo e mínimo absolutos.

Passo 2

Derivamos e igualamos a zero:
g'(x)=\cos\Bigl(x+\tfrac{\pi}{4}\Bigr),
g'(x)=0\quad\Longrightarrow\quad x+\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\pi}{2}+k\pi \quad\Longrightarrow\quad x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi.
Dentro de 0\le x\le\tfrac{7\pi}{4} só cabem k=0 e k=1, dando pontos críticos
x_1=\tfrac{\pi}{4},\qquad x_2=\tfrac{5\pi}{4}.

Passo 3

Avaliamos g em x=0, x=x_1, x=x_2 e x=\tfrac{7\pi}{4}:
g(0)=\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \quad g\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)=\sin\Bigl(\tfrac{\pi}{2}\Bigr)=1,
g\Bigl(\tfrac{5\pi}{4}\Bigr)=\sin\Bigl(\tfrac{3\pi}{2}\Bigr)=-1, \quad g\Bigl(\tfrac{7\pi}{4}\Bigr)=\sin(2\pi)=0.

Passo 4

Comparando os valores:
\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,707,\quad1,\quad -1,\quad0,
vemos que o maior valor é 1 em x=\tfrac{\pi}{4} e o menor é -1 em x=\tfrac{5\pi}{4}.

Passo 5

O esboço de g é uma senoide de período 2\pi, deslocada \tfrac{\pi}{4} para a esquerda, começando em \bigl(0,\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr), alcançando máximo em \bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr), zero em \bigl(\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr), mínimo em \bigl(\tfrac{5\pi}{4},-1\bigr) e terminando em \bigl(\tfrac{7\pi}{4},0\bigr).

Resposta

Valor máximo absoluto: 1 em \bigl(\tfrac{\pi}{4},1\bigr).
Valor mínimo absoluto: -1 em \bigl(\tfrac{5\pi}{4},-1\bigr).

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