Determine o valor extremo absoluto para cada função no intervalo. Então esboce o gráfico da função, identi-
fique os pontos no gráfico onde os valores extremos ocorrem e inclua as coordenadas.
21. F(x)=-\frac{1}{x^{2}}, \quad 0,5 \leq x \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para determinar os extremos absolutos da função
F(x) = -\frac{1}{x^{2}}
no intervalo 0,5 \le x \le 2. O conteúdo envolve calcular a derivada para achar possíveis pontos críticos e comparar os valores de F nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de F:
F'(x) = \frac{d}{dx}\Bigl(-x^{-2}\Bigr) = -(-2)\,x^{-3} = \frac{2}{x^{3}}.
Para encontrar pontos críticos resolvemos F'(x)=0. Como \tfrac{2}{x^{3}}\neq 0 para todo x>0, não há pontos críticos no interior de [0,5,2].

Passo 3

Os únicos candidatos a extremos são as extremidades do intervalo, x=0,5 e x=2. Avaliamos F nesses pontos:
F(0,5) = -\frac{1}{(0,5)^{2}} = -4,
F(2) = -\frac{1}{2^{2}} = -\tfrac{1}{4} = -0,25.

Passo 4

Comparando os valores obtidos,
  • Em x=0,5 temos F(0,5)=-4.
  • Em x=2 temos F(2)=-0,25.
Logo, o menor valor de F no intervalo é -4 em x=0,5, e o maior valor é -0,25 em x=2.

Passo 5

O gráfico de F(x)=-1/x^{2} é o ramo da hipérbole abaixo do eixo x, estritamente crescente para x>0. No intervalo 0,5\le x\le 2 ela sobe de -4 até -0,25. No esboço destacam-se os pontos
\bigl(0,5;\,-4\bigr) como mínimo absoluto e
\bigl(2;\,-0,25\bigr) como máximo absoluto.

Resposta

Mínimo absoluto em \bigl(0,5;\,-4\bigr).
Máximo absoluto em \bigl(2;\,-0,25\bigr).

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