Determine o valor de p de modo que a equaçāo 2 x^2-2(p-1) x+5 p=0 não admita raizes reas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação do segundo grau
2x^2-2(p-1)x+5p=0
e pede os valores de p para que ela não admita raízes reais. Para isso, vamos usar a condição de existência de raízes de uma equação quadrática: as raízes são reais se, e somente se, o discriminante De<a satisfaz De<a>=0. Logo, não ter raízes reais significa ter De<a<0.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma ax^2 + bx + c = 0:
a = 2, b = -2(p-1), c = 5p

Passo 3

Vamos calcular o discriminante
De<a = b^2-4ac
Substituindo a, b e c, temos
De<a = l(-2(p-1)r)^2 - 4cdot 2cdot 5p
=4(p-1)^2 -40p
=4l(p^2-2p+1 -10pr)
=4l(p^2-12p+1r)

Passo 4

Para não existirem raízes reais, impomos
De<a < 0
ou seja
4l(p^2-12p+1r)<0
Como 4>0, isso equivale a
p^2-12p+1<0

Passo 5

A inequação quadrática
p^2-12p+1<0
é satisfeita entre as raízes da equação associada p^2-12p+1=0. Essas raízes são
p = 12pmraiz144-42 = 12pmraiz1402 = 6pmraiz35
Portanto a solução da inequação é
6-raiz35 < p < 6+raiz35

Resposta

6-raiz35 < p < 6+raiz35

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