Determine o valor principal do argumento.
(1+i)^{12}

Passo 1

O enunciado pede o valor principal do argumento de (1+i)^{12}. Esse conteúdo envolve representação de números complexos em forma polar e a propriedade de que
(r e^{i\theta})^n = r^n e^{i n \theta}.

Passo 2

Escrevemos 1+i em forma polar. A magnitude é
r = |1+i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2},
e o argumento principal de 1+i é
\arg(1+i) = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Aplicamos a propriedade de potência em forma polar:
(1+i)^{12} = \bigl(\sqrt{2}\,e^{i\pi/4}\bigr)^{12} = (\sqrt{2})^{12} \, e^{i\,12\cdot(\pi/4)}.
Calculando cada parte: (\sqrt{2})^{12} = 2^6 = 64 e
12\cdot\frac{\pi}{4} = 3\pi.

Passo 4

O argumento obtido é 3\pi, mas precisamos reduzi-lo ao intervalo principal (-\pi,\pi]. Fazendo a equivalência módulo 2\pi:
3\pi \equiv 3\pi - 2\pi = \pi \quad(\bmod\,2\pi).
Logo, o valor principal do argumento é \pi.

Resposta

\pi

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