Determine o valor de An=sump=0^nbinomnp(2^p 3^n-p-4^p), para todo n>0.

Passo 1

O enunciado pede o valor de
An=sump=0^nbinomnpl(2^p3^,n-p-4^pr)
para todo n>0. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Binômio de Newton, que nos permite somar termos da forma sump=0^nbinomnpa^pb^,n-p=(a+b)^n.

Passo 2

Separe a soma em duas parcelas:
An =sump=0^nbinomnp2^p3^,n-p ;-;sump=0^nbinomnp4^p

Passo 3

Cada uma dessas somas é um caso do binômio de Newton:
sump=0^nbinomnp2^p3^,n-p=(2+3)^n=5^n,
sump=0^nbinomnp4^p1^,n-p=(4+1)^n=5^n

Passo 4

Subtraindo as duas quantidades iguais, obtemos
An=5^n-5^n=0

Resposta

0

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