(2 x-y)^4=a1 x^4+a2 x^3 y+a3 x^2 y^2+a4 x y^3+a5 y^4. Calcule o valor de sumi=1^5 ai.

Passo 1

O enunciado pede para expandir (2x - y)^4 na forma
(2x - y)^4=a1x^4+a2x^3y+a3x^2y^2+a4xy^3+a5y^4
e, em seguida, calcular
sumi=1^5ai
O conteúdo principal é o Teorema do Binômio e a ideia de soma de coeficientes.

Passo 2

Pelo Teorema do Binômio temos
(2x - y)^4 =sumk=0^4binom4k(2x)^4-k(-y)^k
Isso gera termos de x^4-ky^k com coeficientes binom4k2^4-k(-1)^k.

Passo 3

Identificando cada coeficiente ai (com i=k+1):
a1:;k=0impliesbinom402^4(-1)^0=1cdot16cdot1=16,
a2:;k=1impliesbinom412^3(-1)^1=4cdot8cdot(-1)=-32,
a3:;k=2impliesbinom422^2(-1)^2=6cdot4cdot1=24,
a4:;k=3impliesbinom432^1(-1)^3=4cdot2cdot(-1)=-8,
a5:;k=4impliesbinom442^0(-1)^4=1cdot1cdot1=1

Passo 4

Somamos os coeficientes:
sumi=1^5ai =16 + (-32) + 24 + (-8) + 1 =1
(Neste caso também poderíamos ter observado que a soma dos coeficientes de um polinômio em x,y é o valor da expressão em x=1,y=1, ou seja (2cdot1-1)^4=1.)

Resposta

1

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