Que posição ocupa o termo independente de x no desenvolvimento de (3+6 x^2)^11, se o desenvolvimento for em potências de expoentes decrescentes de x ?

Passo 1

O enunciado pede a posição do termo independente de x no desenvolvimento de (3+6x^2)^11 em potências de expoentes decrescentes de x. A matéria é o Teorema Binomial de Newton, e vamos precisar da expressão geral do termo genérico e do critério de independência ( x^0).

Passo 2

Na expansão de (3+6x^2)^11, o termo geral para k=0,1,dots,11 é
Tk = binom11k ,3^,11-k,(6x^2)^k = binom11k3^11-k6^k ,x^2k

Passo 3

Para ser independente de x, precisamos de 2k=0, o que implica k=0. Portanto, o termo independente é
T0 = binom1103^116^0 x^0 = 3^11

Passo 4

Na ordem de expoentes decrescentes, o primeiro termo corresponde a k=11 ( x^22), o segundo a k=10 ( x^20), e assim por diante até k=0. Logo, k=0 ocupa a posição 12.

Resposta

12ª posição

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