Determine os valores de m e n na função dada p(x)=2 x^4-x^3+m x^2-n x+2 para que o polinômio seja divisível por (x-2)(x+1).

Passo 1

O enunciado nos dá o polinômio
p(x)=2x^4-x^3+m x^2-n x+2
e pede os valores de m e n para que ele seja divisível por (x-2)(x+1).
Como (x-2) e (x+1) são fatores lineares, usaremos o Teorema do Resto (ou Teorema do Fator):
se p(x) é divisível por (x-a), então p(a)=0.

Passo 2

Aplicando p(2)=0:
p(2)=2cdot2^4-2^3+mcdot2^2-ncdot2+2 =2cdot16-8+4m-2n+2 =32-8+4m-2n+2 =26+4m-2n
Logo,
26+4m-2n=0 Longrightarrow 2m-n+13=0 Longrightarrow n=2m+13

Passo 3

Aplicando p(-1)=0:
p(-1)=2cdot(-1)^4-(-1)^3+mcdot(-1)^2-ncdot(-1)+2 =2+1+m+n+2 =5+m+n
Logo,
5+m+n=0 Longrightarrow n=-m-5

Passo 4

Igualando as duas expressões para n:
2m+13 = -m-5 Longrightarrow 3m = -18 Longrightarrow m = -6
Substituindo em n=2m+13:
n = 2(-6)+13 = -12+13 = 1

Resposta

m=-6 e n=1.

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