Se A=x in R mid 3 x-2 x^2 >= 0, B=x in R mid 1 <= x <= 3 e C=x in R mid x^2-x-2 <= 0, determine (A cup B) cap C.

Passo 1

O enunciado define três conjuntos em R:
A=xmid 3x-2x^2>=0, B=xmid 1<= x<=3, C=xmid x^2-x-2<=0,
e pede (Acup B)cap C. Vamos precisar resolver as desigualdades de A e C e depois aplicar união e interseção de intervalos.

Passo 2

Para A, escrevemos a desigualdade
3x-2x^2>=0
ou seja
-2x^2+3x>=0Long<=ftrightarrow x(3-2x)>=0
As raízes são x=0 e x=tfrac32. Como a parábola abre para baixo, a solução é o intervalo entre as raízes:
A=[0,tfrac32]

Passo 3

Para C, temos
x^2-x-2<=0
As raízes da equação associada são
x=1pmraiz1+82=1pm32,
isto é, x=-1 e x=2. Como a parábola abre para cima, a solução da desigualdade é
C=[-1,2]

Passo 4

O conjunto B já é
B=[1,3]
Logo
Acup B=[0,tfrac32]cup[1,3]=[0,3]

Passo 5

Finalmente, intersectamos com C:
(Acup B)cap C = [0,3]cap[-1,2]=[0,2]

Resposta

[0,2]

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