Resolva, em R, as inequações:
(1-4 x^2) cdot(2 x^2+3 x)>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a inequação
(1-4x^2)cdot(2x^2+3x)>0
O conteúdo envolve inequações polinomiais e análise de sinais de produto de fatores, portanto vamos fatorar cada polinômio e depois estudar o sinal de cada fator em intervalos.

Passo 2

Fatoramos os dois polinômios:
1 - 4x^2 = (1 - 2x)(1 + 2x),
2x^2 + 3x = x,(2x + 3)
Assim a inequação fica
(1 - 2x)(1 + 2x);x,(2x + 3) > 0

Passo 3

Encontramos os zeros de cada fator:
1 - 2x = 0 implies x = tfrac12, 1 + 2x = 0 implies x = -tfrac12,
x = 0, 2x + 3 = 0 implies x = -tfrac32
Esses pontos particionam R em cinco intervalos.

Passo 4

Em cada intervalo escolhemos um valor-teste e determinamos o sinal de cada fator:
  • Para x< -tfrac32:
    (1-2x)>0,;(1+2x)<0,;x<0,;(2x+3)<0 Rightarrow produto <0.
  • Para -tfrac32<x<-tfrac12:
    (1-2x)>0,;(1+2x)<0,;x<0,;(2x+3)>0 Rightarrow produto >0.
  • Para -tfrac12<x<0:
    (1-2x)>0,;(1+2x)>0,;x<0,;(2x+3)>0 Rightarrow produto <0.
  • Para 0<x<tfrac12:
    (1-2x)>0,;(1+2x)>0,;x>0,;(2x+3)>0 Rightarrow produto >0.
  • Para x>tfrac12:
    (1-2x)<0,;(1+2x)>0,;x>0,;(2x+3)>0 Rightarrow produto <0.

Passo 5

A inequação é satisfeita nos intervalos em que o produto é positivo, isto é,
-tfrac32 < x < -tfrac12 ou 0 < x < tfrac12

Resposta

l(-tfrac32,-tfrac12r);cup;(0,tfrac12)

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