Determine os valores de x que satisfazem a equação 100 cdot 10^x=raiz[x]1000^5.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
100 cdot 10^x = raiz[x]1000^5,
que envolve exponenciais e radiciação com expoente variável. Para resolver, vamos usar as propriedades de potências e expressar tudo numa mesma base.

Passo 2

Reescrevendo em base 10:
100 é 10^2, logo a esquerda fica
100cdot10^x = 10^2cdot10^x = 10^,x+2
Do outro lado,
raiz[x]1000^5 = l(1000^5r)^tfrac1x = l((10^3)^5r)^tfrac1x = 10^tfrac3cdot5x = 10^tfrac15x

Passo 3

Igualando as potências de 10, temos
x + 2 = 15x
Multiplicando ambos os lados por x,
x^2 + 2x = 15 Longrightarrow x^2 + 2x - 15 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática x^2 + 2x - 15 = 0 pela fórmula de Bhaskara:
x = -2 pm raiz2^2 - 4cdot1cdot(-15)2 = -2 pm raiz4 + 602 = -2 pm 82
Isso dá as soluções
x = -2 + 82 = 3 ou x = -2 - 82 = -5

Resposta

x = 3
x = -5

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