Determine os valores de k para que o sistema abaixo tenha solução única:
\begin{aligned} & x+(5+k) y-3 z=-6 \\\ & 5 x+y-4 z=-5 \\\ & x+5 y+k y=-1 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede os valores de k para que o sistema linear em (x,y,z) tenha solução única. Isso é conteúdo de Álgebra Linear: um sistema 3\times3 tem solução única se, e somente se, a matriz dos coeficientes for invertível, isto é, seu determinante for diferente de zero.

Passo 2

Vamos montar a matriz A dos coeficientes:
A = \begin{pmatrix} 1 & 5+k & -3\\\\ 5 & 1 & -4\\\\ 1 & 5 & k \end{pmatrix}

Passo 3

Calculamos \det(A) pela expansão na primeira linha:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -4\\\ 5 & k\end{pmatrix} -(5+k)\cdot\det\begin{pmatrix}5 & -4\\\ 1 & k\end{pmatrix} +(-3)\cdot\det\begin{pmatrix}5 & 1\\\ 1 & 5\end{pmatrix}.

Passo 4

Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}1 & -4\\\ 5 & k\end{pmatrix}=1\cdot k-(-4)\cdot5=k+20,
\det\begin{pmatrix}5 & -4\\\ 1 & k\end{pmatrix}=5\cdot k-(-4)\cdot1=5k+4,
\det\begin{pmatrix}5 & 1\\\ 1 & 5\end{pmatrix}=5\cdot5-1\cdot1=24.
Substituindo:
\det(A)=(k+20)-(5+k)(5k+4)-3\cdot24 =k+20-(5k^2+29k+20)-72 =-5k^2-28k-72 =-(5k^2+28k+72).

Passo 5

O sistema tem solução única se \det(A)\neq0, isto é,
5k^2+28k+72\neq0.
Mas o discriminante dessa quadrática é
\Delta=28^2-4\cdot5\cdot72=784-1440=-656<0,
logo 5k^2+28k+72>0 para todo k\in\mathbb{R}. Assim \det(A) nunca se anula.

Resposta

O sistema tem solução única para todo k\in\mathbb{R}.

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