(Unicamp-18) Sabendo que p e q são números reais, considere as matrizes A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 2 & p \\\\ 1 & p & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{l}p \\\\ 0 \\\ q\end{array}\right)
a) Prove que para quaisquer p e q teremos B^{T} A B \geq 0.
b) Determine os valores de p e q para os quais o sistema linear nas variáveis reais x, y \in z, A\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)=B, tem infinitas ioluções.
Passo 1
O enunciado dá duas tarefas. Primeiro, para quaisquer reais p,q, provar que
tenha infinitas soluções. Vamos usar cálculo de forma quadrática e análise de singularidade de matriz.]
Passo 2
Calcular diretamente o produto matricial A\,B e depois B^{T}(A\,B). Temos
A\,B =\begin{pmatrix} 1\cdot p + 0\cdot0 + 1\cdot q\\[3pt] 1\cdot p + 2\cdot0 + p\cdot q\\[3pt] 1\cdot p + p\cdot0 + 1\cdot q \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}p+q\\[3pt]p(1+q)\\[3pt]p+q\end{pmatrix}.
Em seguida,
B^{T}A B =\bigl(p,\;0,\;q\bigr) \begin{pmatrix}p+q\\[3pt]p(1+q)\\[3pt]p+q\end{pmatrix} =p(p+q)+0\cdot p(1+q)+q(p+q).]
Passo 3
Agrupando temos
B^{T}A B = (p+q)(p+q) = (p+q)^{2}\ge 0,
o que prova a parte (a).
Passo 4
Para ter infinitas soluções de
A\begin{pmatrix}x\\[3pt]y\\[3pt]z\end{pmatrix} =B
precisamos que A seja singular (\det(A)=0) e que o sistema seja consistente.]
Passo 5
Calcular o determinante de A:
\det(A) =\det\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[3pt] 1 & 2 & p \\[3pt] 1 & p & 1\end{pmatrix} =1\cdot(2\cdot1 - p\cdot p)\;-\;0\;+\;1\cdot(1\cdot p - 2\cdot1) =2 - p^2 + p -2 =-p(p-1).
Logo \det(A)=0 exatamente se p=0 ou p=1.]
Passo 6
Caso p=0\), o sistema vira
\[\begin{cases} x+z=0,\\[3pt] x+2y=0,\\[3pt] x+z=q. \end{cases}
As duas equações em x+z\] exigem \(0=q. Portanto para p=0 há infinitas soluções só se q=0.]
Passo 7
Caso p=1\), o sistema é
\[\begin{cases} x+z=1,\\[3pt] x+2y+z=1,\\[3pt] x+y+z=q. \end{cases}
Da segunda menos a primeira vem 2y=0\implies y=0\]. Então da terceira usando \(x+z=1 tem 1+0=q\implies q=1. Logo para p=1 há infinitas soluções só se q=1.]
Resposta
a) B^{T}A B=(p+q)^{2}\ge0 para todos p,q.
b) O sistema tem infinitas soluções se, e somente se, (p,q)=(0,0) ou (p,q)=(1,1).
Cálculo - Marcelo Rufino de Oliveira - Elementos da matemática - Vol 3 - 3ª Edição - Capítulo 12.Exercícios - Ex. 20