(Unicamp-17) Sabendo que mé um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y ez: \left\{\begin{array}{l}m x+2 z=4 \\\ x-y+z=3, \\\\ 2 x+m z=4\end{array}\right.
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sisterna. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos
elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A^{2}=A . A.
b) Para m=2, encontre a solução do sistema linear para a qual o producto xyz é mínimo.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z)\) com parâmetro real \(m\): \[\begin{cases} m\,x + 2\,z = 4,\\\ x - y + z = 3,\\\\ 2\,x + m\,z = 4.
Na parte (a) precisamos comparar duas quantidades associadas à matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} m & 0 & 2\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 0 & m \end{pmatrix},
isto é, a soma dos quadrados dos seus elementos e a soma dos elementos de A^2\]. Na parte (b), para \(m=2, o sistema fica dependente e teremos infinitas soluções; aí queremos achar, entre elas, a que minimiza o produto x\,y\,z.

Passo 2

Calculamos a soma dos quadrados dos elementos de A. Chamando essa soma de S_1, temos
S_1 = m^2 + 0^2 + 2^2 + 1^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 + 0^2 + m^2 = 2\,m^2 + 11.

Passo 3

Agora montamos A^2 = A\cdot A e somamos todos os seus elementos.
Para os elementos principais:
(A^2)_{11} = m\cdot m + 0\cdot1 + 2\cdot2 = m^2 + 4,
(A^2)_{13} = m\cdot2 + 0\cdot1 + 2\cdot m = 4\,m,
(A^2)_{22} = 1\cdot0 + (-1)\cdot(-1) + 1\cdot0 = 1,
(A^2)_{21} = 1\cdot m + (-1)\cdot1 + 1\cdot2 = m + 1,
(A^2)_{23} = 1\cdot2 + (-1)\cdot1 + 1\cdot m = m + 1,
(A^2)_{31} = 2\cdot m + 0\cdot1 + m\cdot2 = 4\,m,
(A^2)_{33} = 2\cdot2 + 0\cdot1 + m\cdot m = m^2 + 4,
e todos os outros são zero. Somando tudo, obtemos
S_2 = 2\,m^2 + 10\,m + 11.

Passo 4

Igualamos S_1 e S_2:
2\,m^2 + 11 = 2\,m^2 + 10\,m + 11
\Longrightarrow 10\,m = 0
\Longrightarrow m = 0.
Logo, só para m=0 a soma dos quadrados dos elementos de A coincide com a soma dos elementos de A^2.

Passo 5

Para a parte (b), fixamos m=2. O sistema vira
\begin{cases} 2\,x + 2\,z = 4,\\\ x - y + z = 3,\\\\ 2\,x + 2\,z = 4. \end{cases}
As equações 1 e 3 são idênticas, dando
x + z = 2,
e da segunda
(x+z) - y = 3 \;\Longrightarrow\; 2 - y = 3 \;\Longrightarrow\; y = -1.

Passo 6

Temos, pois, a família de soluções
\;y=-1,\quad z = 2 - x,\quad x\in\mathbb{R}.
O produto é
P(x) = x\,y\,z = x\cdot(-1)\cdot(2 - x) = -\,x\,(2 - x) = x^2 - 2\,x.
Para achar o mínimo de P, notamos que é uma parábola com concavidade para cima. O vértice ocorre em
x = \frac{2}{2} = 1,
e aí
z = 2 - 1 = 1,\quad y = -1,
com valor mínimo P(1) = -1.

Resposta

a) m = 0.
b) Para m=2, a solução que minimiza x\,y\,z é (x,y,z) = (1,\,-1,\,1), com produto mínimo -1.

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