(Unicamp-17) Sabendo que mé um número real, considere o sistema linear nas variáveis x, y ez: \left\{\begin{array}{l}m x+2 z=4 \\\ x-y+z=3, \\\\ 2 x+m z=4\end{array}\right.
a) Seja A a matriz dos coeficientes desse sisterna. Determine os valores de m para os quais a soma dos quadrados dos
elementos da matriz A é igual à soma dos elementos da matriz A^{2}=A . A.
b) Para m=2, encontre a solução do sistema linear para a qual o producto xyz é mínimo.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear em (x,y,z)\) com parâmetro real \(m\):
\[\begin{cases} m\,x + 2\,z = 4,\\\ x - y + z = 3,\\\\ 2\,x + m\,z = 4.
Na parte (a) precisamos comparar duas quantidades associadas à matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} m & 0 & 2\\\\ 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 0 & m \end{pmatrix},
isto é, a soma dos quadrados dos seus elementos e a soma dos elementos de A^2\].
Na parte (b), para \(m=2, o sistema fica dependente e teremos infinitas soluções; aí queremos achar, entre elas, a que minimiza o produto x\,y\,z.
Passo 2
Calculamos a soma dos quadrados dos elementos de A. Chamando essa soma de S_1, temos