Determine os vértices do triângulo retângulo inscrito na circunferência de equação x^2+y^2-6 x+2 y+5=0, o qual tem hipotenusa paralela à reta 2 x+y-6=0 e um cateto paralelo à reta x-6=0.

Passo 1

O enunciado pede os vértices de um triângulo retângulo inscrito na circunferência ,x^2+y^2-6x+2y+5=0, cuja hipotenusa é paralela à reta 2x+y-6=0 e um cateto é paralelo à reta x-6=0. Vamos usar geometria analítica de círculos e o Teorema de Tales para triângulos retângulos inscritos.

Passo 2

Para achar o centro e o raio, completamos quadrados:
x^2 -6x + y^2 +2y +5 = (x-3)^2 -9 + (y+1)^2 -1 +5 = 0,
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(x-3)^2 + (y+1)^2 = 5
O centro é C=(3,-1) e o raio é raiz5.

Passo 3

Pelo Teorema de Tales, num triângulo retângulo inscrito, a hipotenusa é um diâmetro da circunferência. Como a hipotenusa deve ser paralela à reta 2x+y-6=0, cujo vetor diretor é (1,-2), o diâmetro procurado passa por C e tem direção (1,-2).

Passo 4

Um vetor unitário nessa direção é
u = (1,-2)raiz1^2+(-2)^2 = (1,-2)raiz5
Multiplicando por raiz5 e somando/subtraindo ao centro, obtemos os extremos do diâmetro:
D1 = C + raiz5,u = (3,-1)+(1,-2) = (4,-3),
D2 = C - raiz5,u = (3,-1)-(1,-2) = (2,1)

Passo 5

Um cateto é paralelo à reta x-6=0 (vertical), logo o vértice do ângulo reto R deve ter a mesma abscissa de um dos extremos do diâmetro. Se for com D1 então xR=4 e o outro cateto, perpendicular, é horizontal, fazendo yR=yD2=1, dando R1=(4,1). Se for com D2 então xR=2 e o cateto horizontal faz yR=yD1=-3, dando R2=(2,-3).

Passo 6

Verificamos que ambos R1 e R2 pertencem à circunferência e formam catetos vertical/horizontal. Assim há duas soluções de triângulo.

Resposta

Triângulo 1: vértices em (4,-3), (2,1) e (4,1).
Triângulo 2: vértices em (4,-3), (2,1) e (2,-3).

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