Determine os vértices do triângulo retângulo inscrito na circunferência de equação
, o qual tem hipotenusa paralela à reta
e um cateto paralelo à reta
.
Passo 1
O enunciado pede os vértices de um triângulo retângulo inscrito na circunferência
, cuja hipotenusa é paralela à reta
e um cateto é paralelo à reta
. Vamos usar geometria analítica de círculos e o Teorema de Tales para triângulos retângulos inscritos.
Passo 2
Para achar o centro e o raio, completamos quadrados:
logo
O centro é
e o raio é
.
Passo 3
Pelo Teorema de Tales, num triângulo retângulo inscrito, a hipotenusa é um diâmetro da circunferência. Como a hipotenusa deve ser paralela à reta
, cujo vetor diretor é
, o diâmetro procurado passa por
e tem direção
.
Passo 4
Um vetor unitário nessa direção é
Multiplicando por
e somando/subtraindo ao centro, obtemos os extremos do diâmetro:
Passo 5
Um cateto é paralelo à reta
(vertical), logo o vértice do ângulo reto
deve ter a mesma abscissa de um dos extremos do diâmetro. Se for com
então
e o outro cateto, perpendicular, é horizontal, fazendo
, dando
. Se for com
então
e o cateto horizontal faz
, dando
.
Passo 6
Verificamos que ambos
e
pertencem à circunferência e formam catetos vertical/horizontal. Assim há duas soluções de triângulo.
Resposta
Triângulo 1: vértices em
,
e
.
Triângulo 2: vértices em ,
e
.
Triângulo 2: vértices em