Determine as áreas dos triângulos isósceles inscritos na circunferência lambda:(x-1)^2+(y+2)^2=100 e que têm base sobre a reta r: 3 x-4 y+19=0.

Passo 1

O enunciado pede as áreas dos triângulos isósceles inscritos na circunferência
lambda: (x-1)^2+(y+2)^2=100
cuja base é um segmento de reta sobre
r:3x-4y+19=0
Em todo triângulo isósceles inscrit o em uma circunferência, os vértices da base são as interseções da reta r com a circunferência, e o vértice oposto (o “ápice” do isósceles) está na circunferência de modo que seja equidistante dos dois pontos da base, ou seja, pertence à mediatriz do segmento base.

Passo 2

Calcular a distância d do centro O(1,-2) à reta r e o comprimento b do segmento de corda em r.
A distância é
d=lvert3cdot1-4cdot(-2)+19rvertraiz3^2+(-4)^2 =305=6
Como o raio é R=10, a meia-corda vale raizR^2-d^2=raiz100-36=8, logo a base tem comprimento
b=2cdot8=16

Passo 3

A mediatriz da base é a reta perpendicular a r que passa pelo pé M da perpendicular de O em r. Essa mediatriz é justamente a reta através de O com direção do vetor normal de r, ou seja, direção (3,-4). Parametrizando
(x,y)=(1,-2)+t,( -3,4),
inserindo na equação (x-1)^2+(y+2)^2=100
(-3t)^2+(4t)^2=100Rightarrow25t^2=100Rightarrow t=pm2
Assim os dois possíveis ápices são
C1=(1,-2)+2(-3,4)=(-5,6), C2=(1,-2)-2(-3,4)=(7,-10)

Passo 4

A altura de cada triângulo é a distância do ápice à reta r.
Para C1(-5,6):
h1=lvert3(-5)-4cdot6+19rvert5=205=4
Para C2(7,-10):
h2=lvert3cdot7-4(-10)+19rvert5=805=16
Como a base vale b=16, as áreas são
A1=b,h12=16cdot42=32, A2=16cdot162=128

Resposta

As áreas dos dois triângulos isósceles são ,32 e ,128, unidades de área.

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