Determine o volume de um cilindro reto de raio r, sabendo que sua área total é igual à área de um círculo de raio 5 r .

Passo 1

O enunciado dá um cilindro reto de raio r e pede seu volume sabendo que a área total desse cilindro é igual à área de um círculo de raio 5r. Vamos usar a fórmula da área total de um cilindro (lateral mais bases) e igualar à área do círculo para achar a altura h, e só então calcular o volume.

Passo 2

A área total Atot de um cilindro de raio r e altura h é a soma da área lateral 2pi r h com a área das duas bases 2pi r^2:
Atot = 2pi r h + 2pi r^2
A área do círculo de raio 5r é
Acírculo = pi (5r)^2 = 25pi r^2 í
Pelo enunciado, Atot = Acírculoí.

Passo 3

Igualando as áreas e simplificando, temos
2pi r h + 2pi r^2 = 25pi r^2
Dividindo tudo por pi r (pressupondo r>0):
2h + 2r = 25r Longrightarrow 2h = 23r Longrightarrow h = 232,r

Passo 4

O volume V do cilindro é dado por
V = pi r^2 h
Substituindo h = tfrac232r:
V = pi r^2 cdot 232r = 232,pi r^3

Resposta

232,pi r^3

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