Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução, sabendo que a base do cone está inscrita numa face de um cubo de aresta 3 a e o vértice do cone está no centro da face oposta.

Passo 1

O enunciado dá um cubo de aresta 3a. Em uma face desse cubo está inscrita a base de um cone de revolução e o vértice do cone situa-se no centro da face oposta. Logo o raio da base do cone é o raio da circunferência inscrita num quadrado de lado 3a, ou seja
R = 3a2,
e a altura do cone é a distância entre faces opostas do cubo,
h = 3a
Queremos o volume da esfera inscrita nesse cone.

Passo 2

Para achar o raio r da esfera inscrita em um cone reto usamos o fato de que o centro da esfera fica no eixo do cone, a uma distância r da base e a uma distância h - r do vértice, e que a esfera é tangente à geratriz do cone. Isso leva à equação
r = (h - r),sinalpha,
onde alpha é o ângulo que a geratriz faz com o eixo, dado por sinalpha = RraizR^2 + h^2. Substituindo,
r = (h - r),RraizR^2 + h^2 Longrightarrow r,l(raizR^2 + h^2 + Rr) = hR Longrightarrow r = hRR + raizR^2 + h^2

Passo 3

Agora substituímos R = tfrac3a2 e h = 3a. Primeiro calculemos
raizR^2 + h^2 = raizl(3a2r)^2 + (3a)^2 = raiz9a^24 + 9a^2 = 3araiz52
Logo
r = (3a),(3a/2)tfrac3a2 + tfrac3araiz52 = tfrac9a^22tfrac3a2,(1 + raiz5) = 3a1 + raiz5 = 3a(raiz5-1)4

Passo 4

O volume da esfera de raio r é
V = 43,pi,r^3
Substituindo r = tfrac3a(raiz5-1)4,
r^3 = 27a^364,(raiz5-1)^3 = 27a^364,l[8(raiz5-2)r] = 27a^38,(raiz5-2)
Portanto
V = 43,pi cdot 27a^38,(raiz5-2) = 92,pi,a^3,(raiz5-2)

Resposta

V = 9pi a^32,(raiz5-2)

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