Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução, sabendo que a base do cone está inscrita numa face de um cubo de aresta 3 a e o vértice do cone está no centro da face oposta.
Passo 1
O enunciado dá um cubo de aresta
. Em uma face desse cubo está inscrita a base de um cone de revolução e o vértice do cone situa-se no centro da face oposta. Logo o raio da base do cone é o raio da circunferência inscrita num quadrado de lado
, ou seja
e a altura do cone é a distância entre faces opostas do cubo,
Queremos o volume da esfera inscrita nesse cone.
Passo 2
Para achar o raio
da esfera inscrita em um cone reto usamos o fato de que o centro da esfera fica no eixo do cone, a uma distância
da base e a uma distância
do vértice, e que a esfera é tangente à geratriz do cone. Isso leva à equação
onde
é o ângulo que a geratriz faz com o eixo, dado por
. Substituindo,
Passo 3
Agora substituímos
e
. Primeiro calculemos
Logo
Passo 4
O volume da esfera de raio
é
Substituindo
,
Portanto