Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução cujo raio da base mede 6 cm e cuja área total mede
.
986. Uma esfera é inscrita num cone reto, com os elementos:
- raio da esfera;
G - geratriz;
R - raio da base do cone;
H - altura.
Resolva os problemas:
a) dados Ge R, calcule H e r;
c) dados H e R , calcule G e
;
b) dados G e H, calcule R e r;
d) dados H e
, calcule G e R .
986. Uma esfera é inscrita num cone reto, com os elementos:
G - geratriz;
R - raio da base do cone;
H - altura.
Resolva os problemas:
a) dados Ge R, calcule H e r;
c) dados H e R , calcule G e
b) dados G e H, calcule R e r;
d) dados H e
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Primeiro, pede o volume da esfera inscrita num cone reto de base de raio
,cm e área total
,c
. Para isso precisamos usar:
– a área total de um cone de revolução , onde
é a geratriz;
– a altura obtida de
e
pela relação
;
– o raio da esfera inscrita, que equivale ao raio do círculo inscrito no triângulo axial, dado por
– a área total de um cone de revolução
– a altura
– o raio
Em seguida, a parte geral (exercício
) pede, a partir das relações
que determinemos os demais elementos do cone quando dois são dados, nos casos (a), (b), (c) e (d).
Passo 2
Determinar
e
no caso específico. Da área total
Como
, temos
Passo 3
Calcular o raio
da esfera inscrita e seu volume. Usamos
O volume da esfera é
Passo 4
Caso (a): dados
e
, encontrar
e
.
A altura é
A altura é
e o raio da esfera
Passo 5
Caso (b): dados
e
, encontrar
e
.
O raio da base sai de
O raio da base sai de
e o raio da esfera de
Passo 6
Caso (c): dados
e
, encontrar
e
.
A geratriz é
A geratriz é
e o raio da esfera é
Passo 7
Caso (d): dados
e
, encontrar
e
.
Da relação
Da relação
e de
segue, após manipulação algébrica,
Resposta
Volume da esfera no caso específico:
Fórmulas gerais:
(a) ,
.
(b) ,
.
(c) ,
.
(d) ,
.
(a)
(b)
(c)
(d)