Determine o volume de uma esfera inscrita em um cone de revolução cujo raio da base mede 6 cm e cuja área total mede 96 pi cm^2.
986. Uma esfera é inscrita num cone reto, com os elementos:
r - raio da esfera;
G - geratriz;
R - raio da base do cone;
H - altura.
Resolva os problemas:
a) dados Ge R, calcule H e r;
c) dados H e R , calcule G e r;
b) dados G e H, calcule R e r;
d) dados H e r, calcule G e R .

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Primeiro, pede o volume da esfera inscrita num cone reto de base de raio R=6,cm e área total 96pi,c m^2. Para isso precisamos usar:
– a área total de um cone de revolução pi R^2+pi R G=96pi, onde G é a geratriz;
– a altura H obtida de G e R pela relação G^2=H^2+R^2;
– o raio r da esfera inscrita, que equivale ao raio do círculo inscrito no triângulo axial, dado por
r=R,HR+G
Em seguida, a parte geral (exercício 986) pede, a partir das relações
G^2=R^2+H^2 e r=R,HR+G,
que determinemos os demais elementos do cone quando dois são dados, nos casos (a), (b), (c) e (d).

Passo 2

Determinar G e H no caso específico. Da área total
pi R(R+G)=96pi Longrightarrow 6,(6+G)=96 Longrightarrow 6+G=16 Longrightarrow G=10,
Como G^2=H^2+R^2, temos
H=raizG^2-R^2=raiz10^2-6^2=raiz100-36=8,

Passo 3

Calcular o raio r da esfera inscrita e seu volume. Usamos
r=R,HR+G=6cdot86+10=4816=3,
O volume da esfera é
Vesfera=43,pi,r^3 =43,pi,(3)^3 =36pi;cm^3

Passo 4

Caso (a): dados G e R, encontrar H e r.
A altura é
H=raizG^2-R^2,,
e o raio da esfera
r=R,HR+G =R,raizG^2-R^2R+G

Passo 5

Caso (b): dados G e H, encontrar R e r.
O raio da base sai de
R=raizG^2-H^2,,
e o raio da esfera de
r=R,HR+G =H,raizG^2-H^2G+raizG^2-H^2

Passo 6

Caso (c): dados H e R, encontrar G e r.
A geratriz é
G=raizH^2+R^2,,
e o raio da esfera é
r=R,HR+G =R,HR+raizH^2+R^2

Passo 7

Caso (d): dados H e r, encontrar G e R.
Da relação
r=R,HR+G Longrightarrow R+G=R,Hr Longrightarrow G=Rr(H-r),
e de G^2=H^2+R^2 segue, após manipulação algébrica,
G=(H-r),raizH,H-2r, e R=r,raizH,H-2r,

Resposta

Volume da esfera no caso específico:
Vesfera=36pi;cm^3
Fórmulas gerais:
(a) H=raizG^2-R^2, ;r=dfracRraizG^2-R^2R+G.
(b) R=raizG^2-H^2, ;r=dfracHraizG^2-H^2G+raizG^2-H^2.
(c) G=raizH^2+R^2, ;r=dfracR,HR+raizH^2+R^2.
(d) G=(H-r)raizdfracHH-2r, ;R=rraizdfracHH-2r.

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