Tomam-se dois vértices opostos de um cubo e pelos pontos médios das seis arestas que não passam por esses vértices traça-se um plano secante que divide o cubo em dois sólidos e em cada um desses sólidos inscrevemos uma esfera. Dado que essas esferas tangenciam três faces do cubo e o plano secante, determine a relação entre o volume de cada esfera e o volume do cubo.
Passo 1
Vamos colocar o cubo num sistema de coordenadas de modo prático. Seja o cubo de aresta com vértices em
Tomamos os vértices opostos e . O plano secante passa pelos pontos médios das seis arestas que não contêm esses vértices. Nosso objetivo é encontrar a esfera inscrita na parte do cubo nearer a (que tangencia as faces e o plano) e calcular o volume dessa esfera em função de .
Passo 2
Identificamos que os seis pontos médios satisfazem
Logo a equação do plano é
A região mais próxima de é
Passo 3
Na parte junto a , a esfera inscrita tangencia as faces coordenadas , logo seu centro está em e seu raio é . A condição de tangência ao plano dá
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 978