Tomam-se dois vértices opostos de um cubo e pelos pontos médios das seis arestas que não passam por esses vértices traça-se um plano secante que divide o cubo em dois sólidos e em cada um desses sólidos inscrevemos uma esfera. Dado que essas esferas tangenciam três faces do cubo e o plano secante, determine a relação entre o volume de cada esfera e o volume do cubo.

Passo 1

Vamos colocar o cubo num sistema de coordenadas de modo prático. Seja o cubo de aresta L com vértices em
(0,0,0),;(L,0,0),;(0,L,0),;(0,0,L),;(L,L,0),;(L,0,L),;(0,L,L),;(L,L,L)
Tomamos os vértices opostos
,(0,0,0) e (L,L,L). O plano secante passa pelos pontos médios das seis arestas que não contêm esses vértices. Nosso objetivo é encontrar a esfera inscrita na parte do cubo nearer a (0,0,0) (que tangencia as faces x=0,y=0,z=0 e o plano) e calcular o volume dessa esfera em função de L.

Passo 2

Identificamos que os seis pontos médios satisfazem
x+y+z=tfrac3L2
Logo a equação do plano é
x+y+z=3L2
A região mais próxima de (0,0,0) é
(x,y,z)mid 0<= x,y,z<= L,;x+y+z<=tfrac3L2

Passo 3

Na parte junto a (0,0,0), a esfera inscrita tangencia as faces coordenadas x=0,y=0,z=0, logo seu centro está em (r,r,r) e seu raio é r. A condição de tangência ao plano x+y+z=tfrac3L2
l|,(r+r+r)-tfrac3L2r|raiz1^2+1^2+1^2=r
Como 3r<tfrac3L2, temos
tfrac3L2-3rraiz3=r Longrightarrow 3L/2 = r,(3+raiz3) Longrightarrow r = 3L/23+raiz3 = L,(3-raiz3)4

Passo 4

Pela simetria, na parte junto a (L,L,L) o raio da esfera inscrita é o mesmo, pois basta trocar xmapsto L-x etc. Logo cada esfera tem raio
r = L,(3-raiz3)4

Passo 5

O volume de cada esfera é
Vrm es = 43pi,r^3 = 43pi, l(L,(3-raiz3)4r)^3 = pi,L^3,(3-raiz3)^348
Assim, em relação ao volume do cubo Vrm cubo=L^3, temos
Vrm esVrm cubo = pi,(3-raiz3)^348 = pi,(9-5raiz3)8

Resposta

Cada esfera tem volume
Vrm es = pi,L^3,(3-raiz3)^348,
ou seja,
Vrm esVrm cubo = pi,(3-raiz3)^348 = pi,(9-5raiz3)8

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