Inscreva um cilindro circular reto de área lateral
numa esfera de diâmetro d. Discuta.
Passo 1
O problema pede para inscrever um cilindro circular reto dentro de uma esfera de diâmetro
, de modo que a área lateral do cilindro seja
. Para resolver, vamos usar duas ideias principais da geometria:\r
- A área lateral de um cilindro de raio
e altura é \r
- Num cilindro inscrito numa esfera de raio
, o ponto de contato entre a aresta superior do cilindro e a esfera satisfaz o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio do cilindro, metade da altura e o raio da esfera, ou seja,\r
Passo 2
Da condição da área lateral temos \r
Passo 3
Substituindo
na equação de inscrição \r
ficamos com \r
Multiplicando por
obtemos \r
que é uma equação quadrática em
.
Passo 4
Seja
. A equação vira \r
Aplicando fórmula de Bhaskara,\r
Logo as soluções para o raio do cilindro são \r
Passo 5
Para termos soluções reais precisamos de \r
- Se
aparecem duas soluções distintas para (e consequentemente para ), uma cilíndrica “alta e fina” e outra “baixa e larga”. \r - Se
discriminante nulo, só há uma solução com \r
- Se
não existe cilindro com essa área lateral que caiba na esfera.
Resposta
Para inscrever o cilindro em esfera de diâmetro
e área lateral
, os raios possíveis vêm de\r
com existência real somente quando
.