Inscreva um cilindro circular reto de área lateral pi a^2 numa esfera de diâmetro d. Discuta.

Passo 1

O problema pede para inscrever um cilindro circular reto dentro de uma esfera de diâmetro d, de modo que a área lateral do cilindro seja pi a^2. Para resolver, vamos usar duas ideias principais da geometria:\r
  1. A área lateral de um cilindro de raio r e altura h é \r
Área lateral=2pi r hÁ\r
  1. Num cilindro inscrito numa esfera de raio R=d/2, o ponto de contato entre a aresta superior do cilindro e a esfera satisfaz o teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio do cilindro, metade da altura e o raio da esfera, ou seja,\r
r^2+l(tfrach2r)^2=R^2=l(tfracd2r)^2

Passo 2

Da condição da área lateral temos \r
;2pi r h=pi a^2;Longrightarrow;2r,h=a^2;Longrightarrow;h=a^22r

Passo 3

Substituindo h=tfraca^22r na equação de inscrição \r
r^2+l(tfrach2r)^2=l(tfracd2r)^2\r
ficamos com \r
r^2+l(tfraca^24rr)^2=d^24 ;Longrightarrow; r^2+a^416,r^2=d^24 \r
Multiplicando por 16r^2 obtemos \r
16r^4-4d^2r^2+a^4=0, \r
que é uma equação quadrática em r^2.

Passo 4

Seja x=r^2. A equação vira \r
16x^2-4d^2x+a^4=0 \r
Aplicando fórmula de Bhaskara,\r
x=4d^2pmraiz(4d^2)^2-4cdot16cdot a^42cdot16 =d^2pmraizd^4-4a^48 \r
Logo as soluções para o raio do cilindro são \r
r^2=d^2pmraizd^4-4a^48, h=a^22r

Passo 5

Para termos soluções reais precisamos de \r
d^4-4a^4>=0 ;Long<=ftrightarrow; d^2>=2a^2 \r
  • Se d^2>2a^2 aparecem duas soluções distintas para r (e consequentemente para h), uma cilíndrica “alta e fina” e outra “baixa e larga”. \r
  • Se d^2=2a^2 discriminante nulo, só há uma solução com \r
r^2=d^28=a^24, r=a2, h=a^22r=a
  • Se d^2<2a^2 não existe cilindro com essa área lateral que caiba na esfera.

Resposta

Para inscrever o cilindro em esfera de diâmetro d e área lateral pi a^2, os raios possíveis vêm de\r
r^2=d^2pmraizd^4-4a^48, h=a^22r, \r
com existência real somente quando d^2>=2a^2.

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