Determine o volume de um ortoedro de 90 cm^2 de superfície, supondo que quatro faces do ortoedro são retângulos congruentes e que cada uma das outras é um quadrado de área igual à metade da área do retângulo.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um ortoedro (paralelepípedo retângulo) cuja superfície total é de 90 cm^2. Quatro faces são retângulos congruentes e as outras duas faces são quadrados cuja área é metade da área deste retângulo. Vamos usar as fórmulas de área de faces e de volume de um ortoedro.

Passo 2

Sejam a, b e c as arestas do ortoedro. As áreas das três espécies de faces são:
Aab=ab, Abc=bc, Aac=ac,
cada uma aparecendo em duas faces opostas.

Passo 3

Como quatro faces são retângulos congruentes, duas espécies de faces têm área igual. Supondo
Aab=Abc,
temos
ab=bcLongrightarrow b(a-c)=0Longrightarrow c=a
(nenhuma aresta pode ser zero). Logo as quatro faces de área ab são os pares ab e bc, e as duas faces restantes são do tipo ac, mas agora ac=acdot c=a^2.

Passo 4

As duas faces de área ac=a^2 são quadrados cuja área é metade da área do retângulo congruente ab. Assim,
a^2 = tfrac12,(ab) Longrightarrow ab=2a^2 Longrightarrow b=2a

Passo 5

A área total da superfície é
2l(ab+bc+acr)=90
Substituindo c=a e b=2a,
2l(acdot2a + 2acdot a + acdot ar)=2(2a^2+2a^2+a^2)=2cdot5a^2=10a^2=90 Longrightarrow a^2=9 Longrightarrow a=3 cm

Passo 6

As arestas são a=3 cm, b=2a=6 cm e c=a=3 cm. O volume é
V=abc=3cdot6cdot3=54 cm^3

Resposta

O volume do ortoedro é 54 cm^3.

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