Determine o volume de um paralelepípedo retângulo, sabendo que duas dimensões têm igual medida e que a diagonal mede 9 cm , sendo 144 cm^2 sua área total.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um paralelepípedo retângulo cujas arestas são a,a,b (duas iguais), sabendo que a diagonal espacial mede 9 cm e que sua área total é 144 c m^2. Vamos usar a fórmula da diagonal
raiza^2 + a^2 + b^2 = 9
e a fórmula da área total
2l(ab + ab + a^2r)=144

Passo 2

Reescrevendo cada condição em forma de equações:
Da área total
2l(2ab + a^2r)=144 Longrightarrow a^2 + 2ab = 72
Da diagonal (elevando ao quadrado)
2a^2 + b^2 = 81

Passo 3

Isolamos b na primeira equação:
b = 72 - a^22a
Então
b^2 = (72 - a^2)^24a^2
Substituímos em 2a^2 + b^2 = 81:
2a^2 + (72 - a^2)^24a^2 = 81

Passo 4

Multiplicando por 4a^2 e rearranjando, obtemos
(72 - a^2)^2 = 4a^2l(81 - 2a^2r) ;Longrightarrow; a^4 - 52a^2 + 576 = 0
Fazendo x=a^2,
x^2 - 52x + 576 = 0 ;Longrightarrow; x = 36 ou x = 16,
portanto a = 6 cm ou a = 4 cm.

Passo 5

Para cada valor de a achamos b:
  • Se a=6, b = 72 - 362cdot6 = 3 cm, e o volume é V = a^2,b = 6^2cdot3 = 108cm^3
  • Se a=4, b = 72 - 162cdot4 = 7 cm, e o volume é V = a^2,b = 4^2cdot7 = 112cm^3

Resposta

Os volumes possíveis são ,108cm^3 ou ,112cm^3.

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