Determine o volume de um sólido gerado por um triângulo de base a e altura h, sabendo que esse triângulo gira 360^circ em torno de sua base.

Passo 1

Vamos colocar o triângulo no plano de modo que sua base coincida com o eixo x, indo de x=0 a x=a, e o vértice oposto à base esteja em (0,h). O conteúdo a usar é volume de revolução pelo método dos discos.

Passo 2

A borda superior do triângulo é a reta que liga (0,h) a (a,0). A equação dessa reta, dada em função de x, é
y(x)=hl(1-xar),
válida para 0<= x<= a.

Passo 3

Ao girar o triângulo inteiro em torno do eixo x, cada fatia em x gera um disco de raio y(x). Logo, o volume é
V = pi integral0^a l[y(x)r]^2,dx

Passo 4

Substituindo y(x) e integrando:
V = pi integral0^a h^2l(1-xar)^2dx = pi h^2integral0^al(1 - 2xa + x^2a^2r)dx
Calculando a integral:
integral0^a1,dx = a, integral0^ax,dx = a^22, integral0^ax^2,dx = a^33,
então
integral0^al(1 - 2xa + x^2a^2r)dx = a - 2a^2/2a + a^3/3a^2 = a - a + a3 = a3
Logo
V = pi h^2,a3 = pi a h^23

Resposta

V = pi a h^23

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