Dez pessoas estão em fila, dentre elas João. Paulo e André. Quantas são as possiveis maneiras de arrumar esta fila de modo que João esteja sempre atrás de Paulo e Paulo esteja sempre à frente de André, embora não necessariamente em lugares adjacentes?
a) 7!.3 !
b) 2.7 !
c) 2 \cdot \frac{10!}{3!}
d) \frac{10!}{3!}
e) 2.8 !

Solução: Alternativa C

O número total de permutações, eliminado a restrição imposta, é 10 !.
Sabe-se que existem 3! posições relativas entre as très pessoas destacadas e duas delas satisfazem o enunciado: J-A-P e A-J-P. Como cada uma destas posições relativas ocorrem um igual número de vezes e duas destas posições são possiveis, a quantidade de maneiras é 2 \cdot \frac{10!}{3!}.

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações de 10 pessoas em fila, incluindo João (J), Paulo § e André (A), de modo que Paulo esteja sempre à frente de João e também à frente de André. O conteúdo é permutações com restrição de ordem relativa; vamos contar o total de arranjos sem restrição e depois aplicar a fração das ordens relativas que satisfazem as duas condições.

Passo 2

Sem qualquer restrição, o número de maneiras de ordenar 10 pessoas é
10!.

Passo 3

Entre as três pessoas P, J e A 3!=6 ordens relativas possíveis, todas equiprováveis. Dessas seis, apenas duas satisfazem “ P antes de J” e “ P antes de A”, a saber
P\!-\!J\!-\!A \quad\text{e}\quad P\!-\!A\!-\!J.

Passo 4

Como cada uma das seis ordens relativas ocorre igualmente em \tfrac{10!}{3!} arranjos gerais, o total de permutações válidas é
2 \times \frac{10!}{3!}.

Resposta

2 \cdot \frac{10!}{3!} (alternativa C)

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