[27] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se é uma matriz simétrica com todos os seus elementos positivos, então é positiva definida.
(b) Se é uma matriz simétrica positiva definida, então todos os seus elementos são positivos.
(c) Se é uma matriz simétrica positiva definida, então o maior elemento da matriz aparece na diagonal principal.
(d) Se é uma matriz simétrica cujo maior elemento da matriz aparece na diagonal principal, então é uma matriz positiva definida.
(e) Se é uma matriz simétrica positiva definida, então todos os elementos da diagonal principal de são positivos.
(f) Se é uma matriz simétrica , cujos elementos da diagonal principal são todos positivos, então é positiva definida.
Passo 1
O enunciado lista seis afirmações sobre matrizes simétricas , positivas e positivamente definidas. Para resolver, vamos usar:
– Definição de matriz positiva definida: é positiva definida se, para todo vetor não nulo , vale .
– Critério dos menores principais (no caso ): garante .
Passo 2
(a) “Se é simétrica com todos os elementos positivos, então é positiva definida.”
Contra-exemplo em :
todos os elementos são positivos, mas para x=(1,-1)^T
x^T A x = 1 - 2 - 2 + 1 = -2 < 0,
logo A não é positiva definida. A afirmação é falsa.
Passo 3
(b) “Se A é simétrica positiva definida, então todos os seus elementos são positivos.”
Contra-exemplo em 2times 2:
A = 1 & -0.4 -0.4 & 1
Temos a12 = -0.4 < 0. Mas det A = 1 cdot 1 - (-0.4)^2 = 0.84 > 0 e a11 > 0, então A é positiva definida. A afirmação é falsa.
Passo 4
(c) “Se A é simétrica positiva definida, então o maior elemento da matriz aparece na diagonal principal.”
Justificativa: para ineq j, o menor principal de ordem 2 exige
Assim nenhum elemento fora da diagonal pode exceder o maior valor da diagonal. A afirmação é verdadeira.
Passo 5
(d) “Se A é simétrica e o maior elemento da matriz aparece na diagonal, então A é positiva definida.”
Contra-exemplo em 2times 2:
A = 1 & 0.8 0.8 & 0
O maior elemento é 1 na diagonal, mas det A = 1 cdot 0 - 0.8^2 = -0.64 < 0, logo A não é positiva definida. A afirmação é falsa.
Passo 6
(e) “Se A é simétrica positiva definida, então todos os elementos da diagonal principal de A são positivos.”
Justificativa: tomando x=ei (vetor canônico), temos
ei^T A ei = aii > 0
Logo cada aii é positivo. A afirmação é verdadeira.
Passo 7
(f) “Se A é simétrica e os elementos da diagonal principal são todos positivos, então A é positiva definida.”
Contra-exemplo em 2times 2:
A = 1 & 100 100 & 1
Aqui a11 = a22 = 1 > 0, mas det A = 1 cdot 1 - 100^2 = -9999 < 0. Logo A não é positiva definida. A afirmação é falsa.