[29] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se A é uma matriz simétrica n times n e o determinante de A é menor do que zero, então A não é uma matriz positiva definida.
(b) Se A é uma matriz simétrica n times n e o determinante de A é menor do que zero, então A não é uma matriz negativa definida.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz simétrica de ordem n e det(A)<0. Precisamos avaliar duas afirmações:
  1. Se det(A)<0 então A não pode ser positiva definida.
  2. Se det(A)<0 então A não pode ser negativa definida.
    Para isso vamos usar que, para matriz simétrica, a definitude é caracterizada pelos seus autovalores lambda1,dots,lambdan e que
det(A)=prodi=1^nlambdai

Passo 2

Uma matriz simétrica A é positiva definida se e somente se todos os seus autovalores satisfazem lambdai>0. Nesse caso
det(A)=prodi=1^nlambdai>0
Como no enunciado det(A)<0, o produto dos autovalores é negativo, o que obriga a existência de pelo menos um autovalor lambdai<0. Logo não podem ser todos positivos, e A não é positiva definida. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Uma matriz simétrica A é negativa definida se e somente se todos os seus autovalores satisfazem lambdai<0. Então
det(A)=prodi=1^nlambdai =l(-1r)^nprodi=1^n|lambdai|
Se n for par, então det(A)>0; se n for ímpar, então det(A)<0. Ou seja, quando n é ímpar uma matriz negativa definida tem exatamente det(A)<0. Portanto o fato de det(A)<0 não impede A de ser negativa definida em dimensões ímpares. A afirmação (b) é falsa.
Contra-exemplo concreto: seja
A = -I3,
então A é claramente negativa definida (todos os autovalores são -1) e
det(A)=(-1)^3=-1<0

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Falsa.

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