[29] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se
é uma matriz simétrica
e o determinante de
é menor do que zero, então
não é uma matriz positiva definida.
(b) Se
é uma matriz simétrica
e o determinante de
é menor do que zero, então
não é uma matriz negativa definida.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz simétrica de ordem
e
. Precisamos avaliar duas afirmações:
- Se
então não pode ser positiva definida. - Se
então não pode ser negativa definida.
Para isso vamos usar que, para matriz simétrica, a definitude é caracterizada pelos seus autovalorese que
Passo 2
Uma matriz simétrica
é positiva definida se e somente se todos os seus autovalores satisfazem
. Nesse caso
Como no enunciado
, o produto dos autovalores é negativo, o que obriga a existência de pelo menos um autovalor
. Logo não podem ser todos positivos, e
não é positiva definida. Portanto a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Uma matriz simétrica
é negativa definida se e somente se todos os seus autovalores satisfazem
. Então
Se
for par, então
; se
for ímpar, então
. Ou seja, quando
é ímpar uma matriz negativa definida tem exatamente
. Portanto o fato de
não impede
de ser negativa definida em dimensões ímpares. A afirmação (b) é falsa.
Contra-exemplo concreto: seja
então
é claramente negativa definida (todos os autovalores são
) e
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Falsa.
(b) Falsa.