Seja
uma matriz simétrica
. Denote o menor principal líder de ordem
de
por
. Classifique a matriz
como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
e
.
Passo 1
O enunciado define uma matriz
simétrica de ordem 4 e indica que seus menores principais líderes de ordem
satisfazem
Pede-se classificar
como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. O conteúdo principal aqui é o critério de Sylvester, que liga o sinal dos menores principais líderes à definitude de matrizes simétricas.
Passo 2
O critério de Sylvester para uma matriz simétrica
afirma:
De forma análoga,
Para semidefinições positiva ou negativa exige-se os mesmos sinais (todos não negativos ou alternados) mas com
. Se nenhum desses padrões ocorre,
é indefinida.
Passo 3
Aqui temos
para todo
. Portanto, pelo critério de Sylvester, concluímos que
é positiva definida.