Seja A uma matriz simétrica 4 times 4. Denote o menor principal líder de ordem k de A por |Ak|. Classifique a matriz A como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida e negativa semidefinida em cada um dos casos abaixo. Justifique cuidadosamente sua resposta.
|A1|>0,|A2|>0,|A3|>0 e |A4|>0.

Passo 1

O enunciado define uma matriz A simétrica de ordem 4 e indica que seus menores principais líderes de ordem 1,2,3,4 satisfazem
|A1|>0, |A2|>0, |A3|>0, |A4|>0
Pede-se classificar A como positiva definida, negativa definida, indefinida, positiva semidefinida ou negativa semidefinida. O conteúdo principal aqui é o critério de Sylvester, que liga o sinal dos menores principais líderes à definitude de matrizes simétricas.

Passo 2

O critério de Sylvester para uma matriz simétrica ntimes n afirma:
A é positiva definida Long<=ftrightarrow |Ak|>0(k=1,dots,n) é
De forma análoga,
A é negativa definida Long<=ftrightarrow (-1)^k,|Ak|>0(k=1,dots,n) é
Para semidefinições positiva ou negativa exige-se os mesmos sinais (todos não negativos ou alternados) mas com |An|=0. Se nenhum desses padrões ocorre, A é indefinida.

Passo 3

Aqui temos |Ak|>0 para todo k=1,dots,4. Portanto, pelo critério de Sylvester, concluímos que A é positiva definida.

Resposta

A é positiva definida.

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