[45] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se é um ponto crítico de uma função de classe e a matriz hessiana no ponto é positiva semidefinida, então p é um mínimo local de .
(b) Se é um ponto crítico de uma função de classe e a matriz hessiana no ponto é negativa semidefinida, então p é um máximo local de .
Passo 1
O enunciado apresenta duas afirmações sobre pontos críticos de uma função de classe , relacionando a semidefinição da matriz Hessiana com a natureza de como mínimo ou máximo local. O conteúdo envolvido é o teste da segunda derivada em várias variáveis: sabemos que se a Hessiana for definida positiva em , então é mínimo local; se for definida negativa, então é máximo local. Mas a semidefinição (quando há autovalores nulos) não garante extremum, podendo haver direções de subida e descida.
Passo 2
Relembrando a teoria:
Se é definida positiva (todos os autovalores ), então é mínimo local.
Se é definida negativa (todos os autovalores ), então é máximo local.
Porém, se a Hessiana é apenas semidefinida (isto é, alguns autovalores podem ser ), não há garantia de extremum — podem existir “planos” ou “direções planas” onde a função oscila.
Passo 3
Contra-exemplo para (a): considere
Então: . , logo é ponto crítico. . A Hessiana em é
Os autovalores são 2 e 0, logo a Hessiana é positiva semidefinida. 3. Contudo, ao fixar x=0 e variar y,
f(0,y) = -,y^4 < 0
para yneq0 arbitrariamente pequeno, mostrando que valores de f em vizinhança de (0,0) podem ser menores que f(0,0)=0. Assim, (0,0) não é mínimo local.]
Passo 4
Contra-exemplo para (b): considere
g(x,y) = -,x^2 + y^4
Então: 1. nabla g(0,0) = (0,0). 2.
D^2g(0,0) = -2 & 0 0 & 0 ,
cujos autovalores são -2 e 0, isto é, Hessiana negativa semidefinida. 3. Mas para x=0,
g(0,y) = y^4 > 0,
logo g atinge valores maiores que g(0,0)=0 em qualquer vizinhança de (0,0). Portanto, (0,0) não é máximo local.
Resposta
(a) Falsa. Contra-exemplo: f(x,y)=x^2 - y^4 em (0,0).
(b) Falsa. Contra-exemplo: g(x,y)=-x^2 + y^4 em (0,0).
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 11.11.7 - Ex. 45