[45] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se p é um ponto crítico de uma função f: R^n R de classe C^infty e a matriz hessiana D^2 f(p) no ponto p é positiva semidefinida, então p é um mínimo local de f.
(b) Se p é um ponto crítico de uma função f: R^n R de classe C^infty e a matriz hessiana D^2 f(p) no ponto p é negativa semidefinida, então p é um máximo local de f.

Passo 1

O enunciado apresenta duas afirmações sobre pontos críticos p de uma função fcolonR^ntoR de classe C^infty, relacionando a semidefinição da matriz Hessiana D^2f(p) com a natureza de p como mínimo ou máximo local. O conteúdo envolvido é o teste da segunda derivada em várias variáveis: sabemos que se a Hessiana for definida positiva em p, então p é mínimo local; se for definida negativa, então é máximo local. Mas a semidefinição (quando há autovalores nulos) não garante extremum, podendo haver direções de subida e descida.

Passo 2

Relembrando a teoria:
  • Se D^2f(p) é definida positiva (todos os autovalores >0), então p é mínimo local.
  • Se D^2f(p) é definida negativa (todos os autovalores <0), então p é máximo local.
  • Porém, se a Hessiana é apenas semidefinida (isto é, alguns autovalores podem ser 0), não há garantia de extremum — podem existir “planos” ou “direções planas” onde a função oscila.

Passo 3

Contra-exemplo para (a): considere
f(x,y) = x^2 - y^4
Então:
1. nabla f(0,0) = (0,0), logo (0,0) é ponto crítico.
2. A Hessiana em (0,0) é
D^2f(0,0) = partial^2 fpartial x^2&partial^2 fpartial xpartial y[6pt] partial^2 fpartial ypartial x&partial^2 fpartial y^2 (0,0) = 2 & 0 0 & -12,y^2 y=0 = 2 & 0 0 & 0
Os autovalores são 2 e 0, logo a Hessiana é positiva semidefinida.
3. Contudo, ao fixar x=0 e variar y,
f(0,y) = -,y^4 < 0
para yneq0 arbitrariamente pequeno, mostrando que valores de f em vizinhança de (0,0) podem ser menores que f(0,0)=0. Assim, (0,0) não é mínimo local.]

Passo 4

Contra-exemplo para (b): considere
g(x,y) = -,x^2 + y^4
Então:
1. nabla g(0,0) = (0,0).
2.
D^2g(0,0) = -2 & 0 0 & 0 ,
cujos autovalores são -2 e 0, isto é, Hessiana negativa semidefinida.
3. Mas para x=0,
g(0,y) = y^4 > 0,
logo g atinge valores maiores que g(0,0)=0 em qualquer vizinhança de (0,0). Portanto, (0,0) não é máximo local.

Resposta

(a) Falsa. Contra-exemplo: f(x,y)=x^2 - y^4 em (0,0).
(b) Falsa. Contra-exemplo: g(x,y)=-x^2 + y^4 em (0,0).

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