Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
Se A é uma matriz simétrica n times n positiva definida, então B=-A é uma matriz simétrica negativa definida.

Passo 1

O enunciado pergunta se, dada uma matriz simétrica e definida positiva A, a matriz B=-A é simétrica e definida negativa. O conteúdo envolvido é a definição de matrizes definidas positiva e negativa e propriedade de simetria.

Passo 2

Definições:
– Uma matriz quadrada M é definida positiva se, para todo vetor xneq0, vale
x^T M x > 0
– Análoga-mente, M é definida negativa se, para todo xneq0,
x^T M x < 0

Passo 3

Simetria de B:
Como A é simétrica, A^T = A. Logo,
B^T = (-A)^T = -A^T = -A = B,
portanto B também é simétrica.

Passo 4

Definição negativa de B:
Para todo xneq0,
x^T B x = x^T(-A)x = -,x^T A x
Como A é definida positiva, x^T A x > 0. Assim
-,x^T A x < 0,
isto é, x^T B x<0, mostrando que B é definida negativa.

Resposta

A afirmação é verdadeira.

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