Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
Se
é uma matriz simétrica
positiva definida, então
é uma matriz simétrica negativa definida.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se, dada uma matriz simétrica e definida positiva
, a matriz
é simétrica e definida negativa. O conteúdo envolvido é a definição de matrizes definidas positiva e negativa e propriedade de simetria.
Passo 2
Definições:
– Uma matriz quadrada é definida positiva se, para todo vetor
, vale
– Uma matriz quadrada
– Análoga-mente,
é definida negativa se, para todo
,
Passo 3
Simetria de
:
Como é simétrica,
. Logo,
Como
portanto
também é simétrica.
Passo 4
Definição negativa de
:
Para todo ,
Para todo
Como
é definida positiva,
. Assim
isto é,
, mostrando que
é definida negativa.
Resposta
A afirmação é verdadeira.