[25] Verdadeira ou falsa? Se A5 times 5 é uma matriz simétrica com |A1|>0, |A2|>0,|A3|>0,|A4|=0 e |A5|=0, então A é positiva semidefinida. Apresente uma justificativa caso a sentença seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa. Aqui |Ak| denota o menor principal líder de ordem k de A.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz simétrica de ordem 5 cujos menores principais líderes satisfazem
|A1|>0, |A2|>0, |A3|>0, |A4|=0, |A5|=0,
e pergunta se disso segue que A é positiva semidefinida.

Passo 2

Pela versão estendida do critério de Sylvester, uma matriz simétrica é positiva semidefinida se e somente se todos os menores principais (não só os líderes) forem não negativos. Ter apenas os menores líderes não negativos é condição necessária, mas não suficiente para semidefinitude positiva.

Passo 3

Vamos dar um contra-exemplo simples. Considere
A = 1 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & -1
Essa matriz é simétrica e tem valores próprios 1,1,1,0,-1, logo não é positiva semidefinida (pois há um valor próprio negativo).

Passo 4

Verificamos os menores principais líderes de A:
|A1|=1, |A2|=1, |A3|=1, |A4|=1cdot1cdot1cdot0=0, |A5|=1cdot1cdot1cdot0cdot(-1)=0
Ou seja, satisfaz exatamente as hipóteses do enunciado, mas não é positiva semidefinida.

Resposta

A sentença é falsa. Contra-exemplo:
A=diag(1,1,1,0,-1),
que satisfaz |A1|>0,dots,|A4|=0,|A5|=0 mas não é positiva semidefinida.

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