[25] Verdadeira ou falsa? Se é uma matriz simétrica com , e , então é positiva semidefinida. Apresente uma justificativa caso a sentença seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa. Aqui denota o menor principal líder de ordem de .
Passo 1
O enunciado diz que é uma matriz simétrica de ordem 5 cujos menores principais líderes satisfazem ,
e pergunta se disso segue que é positiva semidefinida.
Passo 2
Pela versão estendida do critério de Sylvester, uma matriz simétrica é positiva semidefinida se e somente se todos os menores principais (não só os líderes) forem não negativos. Ter apenas os menores líderes não negativos é condição necessária, mas não suficiente para semidefinitude positiva.
Passo 3
Vamos dar um contra-exemplo simples. Considere
Essa matriz é simétrica e tem valores próprios 1,1,1,0,-1, logo não é positiva semidefinida (pois há um valor próprio negativo).