As dimensões a, b e c de um ortoedro são proporcionais a 6,3 e 2. Sabendo que a área total é 288 cm^2, calcule as dimensões, a diagonal e o volume do paralelepípedo.

Passo 1

O enunciado diz que as dimensões a,b,c de um ortoedro são proporcionais a 6,3,2, ou seja, existem k>0 tais que
a=6k, b=3k, c=2k
Também sabemos que a área total do ortoedro é
2(ab+ac+bc)=288 cm^2
Vamos usar essas informações para encontrar k e depois a,b,c, a diagonal e o volume.

Passo 2

Substituindo a=6k, b=3k e c=2k na soma de produtos das faces, temos
ab+ac+bc = (6k)(3k)+(6k)(2k)+(3k)(2k)=18k^2+12k^2+6k^2=36k^2
Como a área total satisfaz 2(ab+ac+bc)=288, segue
2cdot36k^2=288 Longrightarrow 36k^2=144 Longrightarrow k^2=4 Longrightarrow k=2

Passo 3

Com k=2 encontramos as dimensões:
a=6cdot2=12 cm, b=3cdot2=6 cm, c=2cdot2=4 cm

Passo 4

A diagonal d do paralelepípedo usa o Teorema de Pitágoras no espaço:
d=raiza^2+b^2+c^2 =raiz12^2+6^2+4^2 =raiz144+36+16 =raiz196 =14 cm

Passo 5

O volume V do paralelepípedo é dado por
V=abc=12cdot6cdot4=288 cm^3

Resposta

As dimensões são a=12 cm, b=6 cm, c=4 cm; a diagonal é 14 cm e o volume é 288 cm^3.

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