Discuta a posição relativa das retas r: 2 m x+m y-5=0 e s: 3 m x+3 y+m=0 em função de m.

Passo 1

O enunciado dá duas retas que dependem do parâmetro m:
r:2m x + m y -5=0
s:3m x +3y +m=0
Queremos discutir para quais valores de m elas se cruzam, são paralelas (distintas ou coincidentes) ou se alguma deixa de ser reta. Para isso, vamos reescrever cada uma em forma “ y =” e comparar as inclinações (coeficientes angular) e coeficientes lineares.

Passo 2

Primeiro vemos quando cada uma é realmente uma reta.
  • Em r podemos agrupar: 2m x + m y -5=0 ;Long<=ftrightarrow; m,(2x+y)=5 Se m=0 isso vira 0=5, impossível, então r só é reta para mneq0.
  • Em s temos 3m x +3y +m=0 ;Long<=ftrightarrow; 3y = -3m x -m ;Longrightarrow; y = -m,x - m3, que é sempre uma reta (vale até para m=0, dando y=0).

Passo 3

Para mneq0 põe-se cada reta em forma reduzida:
r: m,(2x+y)=5 ;Longrightarrow; y = -2x + 5m,
coeficiente angular -2.
s: y = -m,x - m3,
coeficiente angular -m.
Comparando inclinacões, as retas têm o mesmo coeficiente angular se e só se
-2 = -m ;Long<=ftrightarrow; m=2
Logo, para mneq2 (e mneq0 em r) as retas têm inclinações diferentes e portanto se cortam em um ponto único.

Passo 4

Em m=2 (ainda com mneq0) ambas têm inclinação -2, mas seus coeficientes lineares são diferentes:
  • Em r o “ y-intercept” é 5/m=5/2.
  • Em s o “ y-intercept” é -m/3=-2/3.
    Como 5/2neq -2/3, as retas são paralelas distintas.
    Não há nenhum valor real de m que torne esses interceptos iguais, então elas nunca coincidem.

Passo 5

Resumindo todos os casos:
  • m=0: r não existe (equação impossível), s é y=0.
  • mneq0 e mneq2: ;r e ,s têm inclinações diferentes e se intersectam num ponto único.
  • m=2: as duas têm inclinação -2 mas interceptos diferentes Rightarrow são paralelas distintas.

Resposta

  • Para m=0: r é inconsistente, scolon y=0.
  • Para mneq0 e mneq2: retas concorrentes (se intersectam em um único ponto).
  • Para m=2: retas paralelas e distintas.

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