Discuta a posição relativa das retas
e s:
em função de
.
Passo 1
O enunciado dá duas retas que dependem do parâmetro
:
Queremos discutir para quais valores de
elas se cruzam, são paralelas (distintas ou coincidentes) ou se alguma deixa de ser reta. Para isso, vamos reescrever cada uma em forma “
” e comparar as inclinações (coeficientes angular) e coeficientes lineares.
Passo 2
Primeiro vemos quando cada uma é realmente uma reta.
- Em
podemos agrupar: Se isso vira , impossível, então só é reta para . - Em
temos que é sempre uma reta (vale até para , dando ).
Passo 3
Para
põe-se cada reta em forma reduzida:
coeficiente angular
.
coeficiente angular
.
Comparando inclinacões, as retas têm o mesmo coeficiente angular se e só se
Comparando inclinacões, as retas têm o mesmo coeficiente angular se e só se
Logo, para
(e
em
) as retas têm inclinações diferentes e portanto se cortam em um ponto único.
Passo 4
Em
(ainda com
) ambas têm inclinação
, mas seus coeficientes lineares são diferentes:
- Em
o “ -intercept” é . - Em
o “ -intercept” é .
Como, as retas são paralelas distintas.
Não há nenhum valor real deque torne esses interceptos iguais, então elas nunca coincidem.
Passo 5
Resumindo todos os casos:
-
: não existe (equação impossível), é . -
e : e têm inclinações diferentes e se intersectam num ponto único. -
: as duas têm inclinação mas interceptos diferentes são paralelas distintas.
Resposta
- Para
: é inconsistente, . - Para
e : retas concorrentes (se intersectam em um único ponto). - Para
: retas paralelas e distintas.