Calculemos D e os valores de que anulam D : D=0 Rightarrow 2 m^2-m-1=0 Rightarrow m=1 pm raiz94 Rightarrowlm=1 ou m=-12
É evidente que, quando D neq 0, as retas são concorrentes. Então: m in R, m neq 1 e m neq-12 Rightarrow D neq 0 Rightarrow r times s
Por outro lado, quando D=0, trocamos m pelos valores críticos (1 e -12) nas equações iniciais e verificamos o que ocorre: m=1 Rightarrowlr: y-1=0 s: 2 y+1=0 Rightarrow r cap s=varnothing m=-12 Rightarrowlr:-32 x-12 y-1=0 s: 32 x+12 y+1=0 Rightarrow r=s
Passo 1
O enunciado nos dá duas retas no plano dependentes de um parâmetro m:
Queremos discutir a posição relativa delas—isto é, se são concorrentes (se cruzam), paralelas distintas ou sobrepostas. Para isso, vamos usar o determinante dos coeficientes de x e y.
Passo 2
Identificamos os coeficientes:
a1 = m-1,; b1 = m, a2 = 1-m,; b2 = m+1
O determinante é
D = a1 & b1 [6pt] a2 & b2 = (m-1)(m+1) - m(1-m) = m^2 - 1 - m + m^2 = 2m^2 - m - 1
Para encontrar quando D=0, resolvemos
2m^2 - m - 1 = 0 Longrightarrow m = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34,
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m = 1 ou m = -tfrac12 ]
Passo 3
Se D neq 0, os vetores normais (a1,b1) e (a2,b2) não são múltiplos, de modo que as retas se cruzam num único ponto. Portanto, para
– Se m neq 1 e m neq -tfrac12, então Dneq0 e r e s são concorrentes.
– Se m = 1, então r e s são paralelas distintas (sem interseção).
– Se m = -tfrac12, então r e s coincidem.
Cálculo - Gelson Iezzi - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 7: Geometria analítica - 6ª Edição - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 82