Discuta a posição relativa das retas
r:(m-1) x+m y-1=0 e s: (1-m) x+(m+1) y+1=0

Solução

Calculemos D e os valores de m que anulam D :
D=|lla1 & b1 a2 & b2|=|clm-1 & m 1-m & m+1|=(m^2-1)-m(1-m)=2 m^2-m-1
D=0 Rightarrow 2 m^2-m-1=0 Rightarrow m=1 pm raiz94 Rightarrowlm=1 ou m=-12
É evidente que, quando D neq 0, as retas são concorrentes. Então:
m in R, m neq 1 e m neq-12 Rightarrow D neq 0 Rightarrow r times s
Por outro lado, quando D=0, trocamos m pelos valores críticos (1 e -12) nas equações iniciais e verificamos o que ocorre:
m=1 Rightarrowlr: y-1=0 s: 2 y+1=0 Rightarrow r cap s=varnothing
m=-12 Rightarrowlr:-32 x-12 y-1=0 s: 32 x+12 y+1=0 Rightarrow r=s

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas no plano dependentes de um parâmetro m:
r: (m-1)x + m,y - 1 = 0, s: (1-m)x + (m+1),y + 1 = 0
Queremos discutir a posição relativa delas—isto é, se são concorrentes (se cruzam), paralelas distintas ou sobrepostas. Para isso, vamos usar o determinante dos coeficientes de x e y.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a1 = m-1,; b1 = m, a2 = 1-m,; b2 = m+1
O determinante é
D = a1 & b1 [6pt] a2 & b2 = (m-1)(m+1) - m(1-m) = m^2 - 1 - m + m^2 = 2m^2 - m - 1
Para encontrar quando D=0, resolvemos
2m^2 - m - 1 = 0 Longrightarrow m = 1 pm raiz1 + 84 = 1 pm 34,
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m = 1 ou m = -tfrac12 ]

Passo 3

Se D neq 0, os vetores normais (a1,b1) e (a2,b2) não são múltiplos, de modo que as retas se cruzam num único ponto. Portanto, para
m in Rsetminus1,,-tfrac12
temos que r e s são concorrentes.

Passo 4

Agora examinamos os casos singulares D=0.
Caso 1: m = 1. Substituindo em r e s:
r: (1-1)x + 1cdot y -1 = 0 Longrightarrow y = 1,
s: (1-1)x + (1+1)y + 1 = 0 Longrightarrow 2y + 1 = 0 Longrightarrow y = -tfrac12
Como y não coincide, não há ponto em comum: as retas são paralelas e distintas.

Passo 5

Caso 2: m = -tfrac12. Substituindo:
r: l(-tfrac32r)x + l(-tfrac12r)y -1 = 0 Longrightarrow -,tfrac12,(3x + y + 2)=0 Longrightarrow 3x + y + 2 = 0,
s: l(1 - (-tfrac12)r)x + l(-tfrac12+1r)y +1 = 0 Longrightarrow tfrac32,x + tfrac12,y + 1 = 0 Longrightarrow 3x + y + 2 = 0
Saímos com a mesma equação, logo r e s coincidem.

Resposta

Para as retas
r:(m-1)x + m,y - 1 = 0 e s:(1-m)x + (m+1),y + 1 = 0
temos:
– Se m neq 1 e m neq -tfrac12, então Dneq0 e r e s são concorrentes.
– Se m = 1, então r e s são paralelas distintas (sem interseção).
– Se m = -tfrac12, então r e s coincidem.

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