Determine y de modo que P(2, y) seja ponto interior do triângulo definido pelas retas 2 x-y-7=0,4 x-y-11=0 e 10 x-3 y-25=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os valores de y tais que o ponto P(2,y) fique no interior do triângulo formado pelas retas
2x - y - 7 = 0, 4x - y - 11 = 0, 10x - 3y - 25 = 0
O conteúdo é geometria analítica de triângulo e meio‐planos: precisamos achar os vértices do triângulo, determinar em que lado de cada reta está o interior e, por fim, impor essas condições a P(2,y).

Passo 2

Calculemos as interseções duas a duas:
– Entre 2x - y - 7 = 0 e 4x - y - 11 = 0:
Subtraindo as equações vem 2x - 4 = 0, logo x = 2. Então
2cdot2 - y -7 = 0 ;Rightarrow; y = -3
Vértice A = (2,-3).
– Entre 2x - y - 7 = 0 e 10x - 3y - 25 = 0:
De 2x - y -7=0 vem y=2x-7. Substituindo em 10x - 3y -25=0:
10x - 3(2x -7) -25 = 0 ;Rightarrow; 10x -6x +21 -25 = 0 ;Rightarrow; 4x = 4 ;Rightarrow; x = 1,
e y = 2cdot1 -7 = -5. Vértice B = (1,-5).
– Entre 4x - y - 11 = 0 e 10x - 3y - 25 = 0:
De 4x - y -11=0 vem y=4x-11. Substituindo:
10x - 3(4x -11) -25 = 0 ;Rightarrow; 10x -12x +33 -25 = 0 ;Rightarrow; -2x = -8 ;Rightarrow; x = 4,
e y = 4cdot4 -11 = 5. Vértice C = (4,5).

Passo 3

Escolhemos um ponto interior ao triângulo, por exemplo o centróide
l(tfrac1+2+43,,tfrac-5-3+53r) = (tfrac73,-1).
Definimos as funções de lado:
f1(x,y) = 2x - y -7, f2(x,y) = 4x - y -11, f3(x,y) = 10x - 3y -25
Avaliando no centróide:
f1l(tfrac73,-1r) = -tfrac43<0, f2l(tfrac73,-1r) = -tfrac23<0, f3l(tfrac73,-1r) = +tfrac43>0
Logo, o interior do triângulo é descrito por
f1(x,y)<0, f2(x,y)<0, f3(x,y)>0

Passo 4

Agora impomos essas condições ao ponto P(2,y):
1. f1(2,y)=2cdot 2 - y -7 = -3 - y < 0\quad Rightarrow\quad -3 - y <0 Rightarrow y > -3.
2. f2(2,y)=4cdot 2 - y -11 = -3 - y < 0\quad Rightarrow\quad y > -3. (mesma condição)
3. f3(2,y)=10cdot 2 -3y -25 = -5 -3y > 0\quad Rightarrow\quad -5 -3y >0 Rightarrow y < -tfrac53.

Passo 5

Combinando y>-3 e y<-tfrac53, obtemos a faixa
-3 < y < -tfrac53

Resposta

-3 < y < -tfrac53.

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