Discuta, segundo os valores do parâmetro , as características das seguintes matrizes:
a)
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
dependendo do parâmetro . Queremos discutir, conforme , a classificação por posto (rank), e as dimensões de núcleo e imagem de (entendida como aplicação linear ). Para isso usaremos o critério de menores (determinantes de submatrizes quadradas) para determinar quando o posto cai.
Passo 2
Escolhemos o menor formado pelas colunas 1, 2 e 3 de :
Calculamos por desenvolvimento na primeira linha:
Cada termo é
Logo
Passo 3
Se , ou seja e , então existe um menor não nulo e o posto de é . Nesse caso, como ,
Passo 4
Caso , temos
ou seja, todas as linhas coincidem. Logo e
Passo 5
Caso , já vimos e verificamos facilmente que as primeiras duas linhas de
são independentes, mas nenhuma combinação das três forma posto 3. Logo e
Resposta
Para a matriz
temos:
(a) Se e , então
, , .
(b) Se , então
, , .
(c) Se , então
, , .
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 433.a