Discuta, segundo os valores do parâmetro a, as características das seguintes matrizes:
a) [llll1 & 1 & a & 1 1 & a & 1 & a a & 1 & 1 & a^2]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
dependendo do parâmetro . Queremos discutir, conforme , a classificação por posto (rank), e as dimensões de núcleo e imagem de (entendida como aplicação linear ). Para isso usaremos o critério de menores (determinantes de submatrizes quadradas) para determinar quando o posto cai.

Passo 2

Escolhemos o menor formado pelas colunas 1, 2 e 3 de :
Calculamos por desenvolvimento na primeira linha:
Cada termo é
Logo

Passo 3

Se , ou seja e , então existe um menor não nulo e o posto de é . Nesse caso, como ,

Passo 4

Caso , temos
ou seja, todas as linhas coincidem. Logo e

Passo 5

Caso , já vimos e verificamos facilmente que as primeiras duas linhas de
são independentes, mas nenhuma combinação das três forma posto 3. Logo e

Resposta

Para a matriz
temos:
(a) Se e , então
, , .
(b) Se , então
, , .
(c) Se , então
, , .

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