Resolva os sistemas pela regra de Cramer:

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear
x + y + z + t = 1, -,x + 2y + z = 2, 2x - y - z - t = -1, x - 3y + z + 2t = 0
usando a regra de Cramer. O conteúdo necessário é cálculo de determinantes e aplicação da fórmula de Cramer:
xi = det(Ai)det(A)

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 & 0 2 & -1 & -1 & -1 1 & -3 & 1 & 2 , b = 12-10
Segundo Cramer, x = det(Ax)/det(A), y = det(Ay)/det(A), etc., onde Ax é A com a primeira coluna trocada por b, e assim por diante.

Passo 3

Calculemos det(A). Usamos eliminação de Gauss mantendo o pivô em a11=1:
1 & 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 & 0 2 & -1 & -1 & -1 1 & -3 & 1 & 2 ;xrightarrowR2!+!R1,;R3-2R1,;R4-R1; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 2 & 1 0 & -3 & -3 & -3 0 & -4 & 0 & 1
Logo
det(A)=1cdot det 3 & 2 & 1 -3 & -3 & -3 -4 & 0 & 1 =9

Passo 4

Montamos Ax trocando a coluna de x por b e repetimos a eliminação:
Ax= 1 & 1 & 1 & 1 2 & 2 & 1 & 0 -1 & -1 & -1 & -1 0 & -3 & 1 & 2 ;xrightarroweliminação; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 0 & -1 & -2 0 & 0 & 0 & 0 0 & -4 & 0 & 1 ;Longrightarrow;det(Ax)=0 çã
Portanto
x = det(Ax)det(A) = 0

Passo 5

Para Ay, trocamos a coluna de y por b:
Ay= 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 & 0 2 & -1 & -1 & -1 1 & 0 & 1 & 2 ;xrightarroweliminação; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 2 & 1 0 & -3 & -3 & -3 0 & -1 & 0 & 1 ;Longrightarrow;det(Ay)=0, çã
então
y = det(Ay)det(A) = 0

Passo 6

Para Az, trocamos a coluna de z por b:
Az= 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 2 & 0 2 & -1 & -1 & -1 1 & -3 & 0 & 2 ;xrightarroweliminação; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & 1 0 & -3 & -3 & -3 0 & -4 & -1 & 1 ;Longrightarrow;det(Az)=18 çã
Logo
z = det(Az)det(A) = 189 = 2

Passo 7

Finalmente, para At, trocamos a coluna de t por b:
At= 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 2 & 1 & 2 2 & -1 & -1 & -1 1 & -3 & 1 & 0 ;xrightarroweliminação; 1 & 1 & 1 & 1 0 & 3 & 2 & 3 0 & -3 & -3 & -3 0 & -4 & 0 & -1 ;Longrightarrow;det(At)=-9 çã
Portanto
t = det(At)det(A) = -99 = -1

Resposta

x = 0, y = 0, z = 2, t = -1.

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