O enunciado apresenta um sistema linear de três equações e três incógnitas x, y, z, dependente de um parâmetro m. Para discutir o número de soluções, vamos calcular o determinante da matriz de coeficientes e depois resolver o caso em que o sistema é invertível (detneq0) por substituição, além de analisar o caso singular (det=0).
Passo 2
A matriz de coeficientes é
A = m & 1 & -1 1 & m & 1 1 & -1 & 0
e seu determinante é
det A = 2(m+1)
Logo, se mneq -1 o sistema tem solução única, e se m=-1 o sistema pode ser indeterminado ou não ter solução.
Passo 3
Para mneq -1, da terceira equação x - y = 2 vem
x = y + 2
Substituindo nas duas primeiras equações obtemos
(m+1)y - z = 4 - 2m
(m+1)y + z = -2
Somando estas duas equações dá
2(m+1)y = 2 - 2m
e, portanto,
y = 1-mm+1
Em seguida, de (m+1)y + z = -2 segue
z = -2 - (m+1)1-mm+1 = m - 3,
e finalmente
x = y + 2 = m+3m+1
Passo 4
Para m = -1, o sistema fica
- x + y - z = 4, x - y + z = 0, x - y = 2
Da terceira equação vem x = y + 2 e da segunda z = -2, mas ao substituir na primeira obtemos 0 = 4, uma contradição. Logo, não há solução.
Resposta
Para m neq -1 o sistema tem única solução
x = m+3m+1, y = 1-mm+1, z = m - 3
Para m = -1 o sistema é inconsistente, não admite solução.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 390