Discuta o sistema:
c p x-y+2 z=0 x+p z=p 3 x+2 y+p z=5

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com parâmetro
Queremos discutir existência e unicidade de soluções em função de (p]. Para isso, usaremos álgebra linear básica: cálculo do determinante da matriz de coeficientes e análise de consistência quando esse determinante se anula.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = p & -1 & 2 1 & 0 & p 3 & 2 & p
e calculamos
det(A) = p0 & p2 & p -(-1)1 & p3 & p +21 & 03 & 2
Fazendo as contas:
det(A) = p(0cdot p - pcdot 2) + (1cdot p - pcdot 3) + 2(1cdot 2 - 0cdot 3) = -2p^2 + (p - 3p) + 4 = -2p^2 -2p +4 = -2(p+2)(p-1)

Passo 3

Se pneq 1 e pneq -2, então det(A)neq 0. Nesse caso, o sistema é compatível determinado, ou seja, existe exatamente uma solução.

Passo 4

Para
Da segunda equação pode ser qualquer número) e o sistema tem infinitas soluções.

Passo 5

Para
Da segunda equação (x = -2 + 2z]. Na primeira:

Na terceira obtemos

que é impossível. Portanto, o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

Para pneq 1 e pneq -2: única solução.
Para p=1: infinitas soluções.
Para p=-2: nenhuma solução.

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