a) Na divisão euclidiana de a por b, o quociente é 106 e o resto 304. Qual o maior número de que se pode aumentar dividendo e divisor sem que o quociente se altere?
b) E se q=356 e r=4623 ?
Resolução de a): Por hipótese a=b cdot 106+304(304<b). Acrescentando x ao dividendo e ao divisor, se 106 é o quociente da divisão de a +x por b+x, então (segundo 4 cdot 2 ):
(b+x) cdot 106 <= a+x<(b+x): 107
Subtraindo 106b +x de cada um dos termos:
105 x <= 304<b+106 x
A última desigualdade se verifica para todo x pois 304<b. Assim basta estudar 105 x <= 304 que fornece as soluções x=0,1 ou 2 . A resposta é então o número 2.

Passo 1

O enunciado trata da divisão euclidiana de um número a por outro b, em que o quociente é q e o resto é r (com r<b). Pergunta-se qual é o maior valor de x que se pode somar simultaneamente a a e a b sem que o quociente da nova divisão mude (permaneça igual a q). No item (a) vimos que, para q=106 e r=304, a resposta foi x=2. Agora vamos resolver o caso (b) em que q=356 e r=4623.

Passo 2

Pela definição de divisão euclidiana temos
a = b,q + r,
com 0 <= r < b.

Passo 3

Após acrescentar x a a e a b, o quociente continua q se, e somente se,
(b + x),q ;<=; a + x ;<; (b + x),(q+1)

Passo 4

Substituindo a = bq + r na desigualdade à esquerda:
(b + x),q <= bq + r + x Longrightarrow bq + xq <= bq + r + x Longrightarrow (q-1),x <= r

Passo 5

A desigualdade à direita
a + x < (b + x),(q+1)
é sempre satisfeita porque r<b. Logo, a única restrição não trivial vem de (q-1)x <= r.

Passo 6

Como x deve ser inteiro e não negativo, temos
0 <= x <= rq-1,
portanto o maior x possível é
xmax = lfloor rq-1 rfloor

Passo 7

No caso (b) temos q=356 e r=4623, então
xmax = lfloor 4623356 - 1 rfloor = lfloor 4623355 rfloor = 13,
pois 355 times 13 = 4615 e 355 times 14 = 4970 > 4623.

Resposta

O maior valor de x é 13.

Exercícios de Livros Relacionados