a) Na divisão euclidiana de a por b, o quociente é 106 e o resto 304. Qual o maior número de que se pode aumentar dividendo e divisor sem que o quociente se altere?
b) E se
e
?
Resolução de a): Por hipótese
. Acrescentando
ao dividendo e ao divisor, se 106 é o quociente da divisão de a
por
, então (segundo
):
Subtraindo 106b
de cada um dos termos:
A última desigualdade se verifica para todo
pois
. Assim basta estudar
que fornece as soluções
ou 2 . A resposta é então o número 2.
b) E se
Subtraindo 106b
Passo 1
O enunciado trata da divisão euclidiana de um número
por outro
, em que o quociente é
e o resto é
(com
). Pergunta-se qual é o maior valor de
que se pode somar simultaneamente a
e a
sem que o quociente da nova divisão mude (permaneça igual a
). No item (a) vimos que, para
e
, a resposta foi
. Agora vamos resolver o caso (b) em que
e
.
Passo 2
Pela definição de divisão euclidiana temos
com
.
Passo 3
Após acrescentar
a
e a
, o quociente continua
se, e somente se,
Passo 4
Substituindo
na desigualdade à esquerda:
Passo 5
A desigualdade à direita
é sempre satisfeita porque
. Logo, a única restrição não trivial vem de
.
Passo 6
Como
deve ser inteiro e não negativo, temos
portanto o maior
possível é
Passo 7
No caso (b) temos
e
, então
pois
e
.
Resposta
O maior valor de
é
.