Verdadeiro ou falso:
é primo se, e somente se,
é primo? Justifique.
Passo 1
O enunciado pergunta sobre a sequência de Fibonacci definida por
e questiona se vale a bicondicional
Para responder, vamos usar a propriedade de divisibilidade entre termos de Fibonacci e em seguida apresentar contraexemplos.
Passo 2
Propriedade de divisibilidade: se
divide
, então
Uma forma de ver isso é usar a identidade
da qual segue que, se
, então
, ou seja,
divide
.
Passo 3
Isso sugere que, se
é composto, digamos
com
, então
e
, obrigando
a ser composto — exceto se
. Note, porém, que
. Tomando
, seus divisores próprios são
e
, e ambos geram
, de modo que não há divisor maior que
de
. De fato
que é primo, ainda que
seja composto. Isso já mostra que a implicação “se
é composto então
é composto” falha em geral, derrubando a bicondicional.
Passo 4
Para ver que também a outra direção falha, tomamos um primo
e observamos que nem sempre
é primo. Por exemplo,
que é composto apesar de
ser primo.
Passo 5
Concluímos que existem índices compostos com
primo (caso
) e índices primos com
composto (caso
). Logo a afirmação
é falsa.
Resposta
Falso.