Verdadeiro ou falso: fp é primo se, e somente se, p é primo? Justifique.

Passo 1

O enunciado pergunta sobre a sequência de Fibonacci definida por
f1=1, f2=1, fn=fn-1+fn-2 (n>=3),
e questiona se vale a bicondicional
fp é primoLong<=ftrightarrow p é primo éé
Para responder, vamos usar a propriedade de divisibilidade entre termos de Fibonacci e em seguida apresentar contraexemplos.

Passo 2

Propriedade de divisibilidade: se d divide n, então
fdmid fn
Uma forma de ver isso é usar a identidade
gcdl(fm,fnr)=fgcd(m,n),
da qual segue que, se dmid n, então gcd(fd,fn)=fd, ou seja, fd divide fn.

Passo 3

Isso sugere que, se p é composto, digamos p=ab com 1<a<b, então fa>1 e famid fp, obrigando fp a ser composto — exceto se fa=1. Note, porém, que f2=1. Tomando p=4, seus divisores próprios são 1 e 2, e ambos geram f1=f2=1, de modo que não há divisor maior que 1 de f4. De fato
f4=3,
que é primo, ainda que 4 seja composto. Isso já mostra que a implicação “se p é composto então fp é composto” falha em geral, derrubando a bicondicional.

Passo 4

Para ver que também a outra direção falha, tomamos um primo p e observamos que nem sempre fp é primo. Por exemplo,
p=19Longrightarrow f19=4181=37cdot113,
que é composto apesar de 19 ser primo.

Passo 5

Concluímos que existem índices compostos com fp primo (caso p=4) e índices primos com fp composto (caso p=19). Logo a afirmação
fp é primoLong<=ftrightarrow p é primo éé
é falsa.

Resposta

Falso.

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