Um dodecágono é um polígono de doze lados.
28 Esboce o dodecágono regular cujos vértices estão na circunferência unitária, com um dos vértices no ponto (1,0).

Passo 1

O enunciado pede para esboçar um dodecágono regular inscrito na circunferência de raio 1 (circunferência unitária), de modo que um dos vértices fique em (1,0). O conteúdo usado aqui é a definição de polígono regular (lados e ângulos centrais iguais) e a parametrização de pontos na circunferência usando cosseno e seno.

Passo 2

Em um polígono regular de n lados inscritos numa circunferência, os vértices estão igualmente espaçados em ângulo. O ângulo central entre vértices consecutivos é
\frac{2\pi}{n}.
Como aqui n=12, temos
\Delta\theta = \frac{2\pi}{12} = \frac{\pi}{6}.

Passo 3

Tomando k=0,1,2,\dots,11, os vértices do dodecágono são dados por
\bigl(\cos(k\Delta\theta),\,\sin(k\Delta\theta)\bigr)
ou seja
\bigl(\cos(k\pi/6),\,\sin(k\pi/6)\bigr), \quad k=0,\dots,11.

Passo 4

Para esboçar, faça o seguinte:
  1. Desenhe a circunferência de raio 1 com centro na origem.
  2. Marque o ponto k=0 em (1,0).
  3. A partir daí, gire em sentido anti-horário de \pi/6 em \pi/6, marcando cada vértice conforme as coordenadas \bigl(\cos(k\pi/6),\sin(k\pi/6)\bigr).
  4. Una esses pontos em sequência e feche o polígono no ponto inicial.

Resposta

Os vértices do dodecágono estão em
(1,0),\;\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\Bigr),\;\Bigl(\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\;(0,1),\;\Bigl(-\tfrac12,\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\;\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},\tfrac12\Bigr),
(-1,0),\;\Bigl(-\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\Bigr),\;\Bigl(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\;(0,-1),\;\Bigl(\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\Bigr),\;\Bigl(\tfrac{\sqrt3}{2},-\tfrac12\Bigr).
Conectando esses 12 pontos na ordem indicada obtém-se o esboço do dodecágono regular.

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