Dois diedros de um triedro medem respectivamente
e
. Dê o intervalo de variação da medida do terceiro diedro.
Passo 1
O enunciado dá dois diedros de um triedro:
e
, e pede o intervalo de variação do terceiro diedro
. Podemos modelar isso projetando o triedro sobre a esfera unitária, obtendo um triângulo esférico cujos lados têm comprimentos
,
e
. A teoria de triângulo esférico nos diz que esses comprimentos satisfazem desigualdades análogas às de triângulo plano.
Passo 2
No triângulo esférico, as arestas devem satisfazer a desigualdade triangular:
Além disso,
mas como
essa última condição já vale para todo
.
Passo 3
Substituindo
e
, calcula-se
e
Passo 4
Para evitar o caso degenerado de triângulo esférico (arestas alinhadas), usamos a forma estrita da desigualdade, obtendo
Resposta
O terceiro diedro varia em
.