Dois diedros de um triedro medem respectivamente 60^circ e 110^circ. Dê o intervalo de variação da medida do terceiro diedro.

Passo 1

O enunciado dá dois diedros de um triedro: alpha=60^circ e beta=110^circ, e pede o intervalo de variação do terceiro diedro gamma. Podemos modelar isso projetando o triedro sobre a esfera unitária, obtendo um triângulo esférico cujos lados têm comprimentos alpha, beta e gamma. A teoria de triângulo esférico nos diz que esses comprimentos satisfazem desigualdades análogas às de triângulo plano.

Passo 2

No triângulo esférico, as arestas devem satisfazer a desigualdade triangular:
|alpha-beta|<=gamma<=alpha+beta
Além disso, alpha+beta+gamma<360^circ mas como alpha+beta=170^circ essa última condição já vale para todo gamma<=180^circ.

Passo 3

Substituindo alpha=60^circ e beta=110^circ, calcula-se
|beta-alpha|=|110^circ-60^circ|=50^circ
e
alpha+beta=60^circ+110^circ=170^circ

Passo 4

Para evitar o caso degenerado de triângulo esférico (arestas alinhadas), usamos a forma estrita da desigualdade, obtendo
50^circ<gamma<170^circ

Resposta

O terceiro diedro varia em (50^circ,170^circ).

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