Se um diedro de um triedro é reto, entre que valores deve estar compreendida a soma das medidas dos outros dois diedros?
Passo 1
Estamos lidando com um triedro (três planos se encontrando num vértice) e sabemos que um dos três diedros vale exatamente
(diedro reto). Chamemos de
esse diedro e de
e
as medidas dos outros dois. Nosso objetivo é achar os limites entre os quais deve ficar
.
Passo 2
Para visualizar a relação entre
usamos a intersecção do triedro com uma esfera unitária centrada no vértice: obtemos um triângulo esférico cujos ângulos são exatamente os diedros
. Nas geometrias esféricas vale a desigualdade
e também
A primeira diz que a soma de quaisquer duas “ângulos” de um triângulo esférico é maior que o terceiro; a segunda decorre do fato de que a soma dos três ângulos excede
mas fica abaixo de
.
Passo 3
Como
, substituímos:
Em graus, isso corresponde a
Resposta
A soma dos outros dois diedros deve satisfazer
isto é, em graus, entre
e
.