Se um diedro de um triedro é reto, entre que valores deve estar compreendida a soma das medidas dos outros dois diedros?

Passo 1

Estamos lidando com um triedro (três planos se encontrando num vértice) e sabemos que um dos três diedros vale exatamente tfracpi2 (diedro reto). Chamemos de alpha=tfracpi2 esse diedro e de beta e gamma as medidas dos outros dois. Nosso objetivo é achar os limites entre os quais deve ficar beta+gamma.

Passo 2

Para visualizar a relação entre alpha,beta,gamma usamos a intersecção do triedro com uma esfera unitária centrada no vértice: obtemos um triângulo esférico cujos ângulos são exatamente os diedros alpha,beta,gamma. Nas geometrias esféricas vale a desigualdade
beta+gamma > alpha
e também
beta+gamma < pi + alpha
A primeira diz que a soma de quaisquer duas “ângulos” de um triângulo esférico é maior que o terceiro; a segunda decorre do fato de que a soma dos três ângulos excede pi mas fica abaixo de 3pi.

Passo 3

Como alpha=tfracpi2, substituímos:
beta+gamma > tfracpi2, beta+gamma < pi + tfracpi2 = tfrac3pi2
Em graus, isso corresponde a
beta+gamma > 90^circ, beta+gamma < 270^circ

Resposta

A soma dos outros dois diedros deve satisfazer
tfracpi2 < beta+gamma < tfrac3pi2,
isto é, em graus, entre 90^circ e 270^circ.

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