Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Existe triedro cujas faces medem respectivamente
e
.
b) Existe triedro com as faces medindo respectivamente
e
.
c) Existe triedro com as três faces medindo
cada uma.
d) Se num triedro duas faces medem respectivamente
e
, então a terceira face é obrigatoriamente a menor.
e) Se dois triedros são congruentes, então eles são opostos pelo vértice.
f) Três semirretas de mesma origem determinam um triedro.
g) Num triedro trirretângulo cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
a) Existe triedro cujas faces medem respectivamente
b) Existe triedro com as faces medindo respectivamente
c) Existe triedro com as três faces medindo
d) Se num triedro duas faces medem respectivamente
e) Se dois triedros são congruentes, então eles são opostos pelo vértice.
f) Três semirretas de mesma origem determinam um triedro.
g) Num triedro trirretângulo cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar sete afirmações sobre triedros (ângulos formados por três semirretas concorrentes). O ponto principal é que, para que exista um triedro cujas faces (ângulos planos formados por cada par de arestas) medem
,
e
, essas medidas devem satisfazer:
- As desigualdades triangulares estritas
pois, em termos esféricos, os lados de um triângulo esférico não podem se igualar à soma dos outros dois.
2. A soma total menor que :
2. A soma total menor que
Usaremos essas condições para (a), (b), (c) e (d). Para os itens (e), (f) e (g) recorremos às definições de congruência, degenerescência de triedro e características do triedro retângulo.
Passo 2
(a) Temos
,
,
. Note que
o que falha por ser igualdade. Logo o triedro seria degenerado (as três semirretas ficam coplanares). Portanto, não existe triedro não degenerado com essas faces.
Passo 3
(b) Para
,
,
checamos:
e ainda
Todas as condições são satisfeitas estritamente, logo existe triedro com essas faces.
Passo 4
(c) Com
temos
o que viola a segunda condição (deve ser estritamente menor que
). Isso dá um triedro degenerado. Portanto, não existe triedro propriamente dito com três faces de
.
Passo 5
(d) Dados dois ângulos
e
, a terceira face
deve obedecer
Isso dá
logo
Assim
é necessariamente menor que
e menor que
. Portanto, a terceira face é obrigatoriamente a menor.
Passo 6
(e) Dois triedros são congruentes quando suas três faces correspondentes têm as mesmas medidas. Mas isso não implica que um seja o “oposto” pelo vértice (espelhado sobre o vértice) do outro — eles podem estar orientados de várias formas no espaço. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 7
(f) Três semirretas de mesma origem formam um triedro apenas se não forem coplanares. Se estiverem no mesmo plano, o triedro degenera (duas ou mais faces coincidem). Assim, nem toda escolha de três semirretas gera um triedro propriamente dito. A afirmação, dada sem ressalva, é falsa.
Passo 8
(g) Num triedro trirretângulo (cada par de arestas forma
), cada aresta é de fato perpendicular ao plano determinado pelas outras duas arestas. É uma propriedade clássica do espaço euclidiano de dimensão 3: reta perpendicular a duas retas concorrentes implica perpendicular ao plano por elas gerado. Portanto, a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) F
b) V
c) F
d) V
e) F
f) F
g) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) F
g) V