Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Existe triedro cujas faces medem respectivamente 40^circ, 90^circ e 50^circ.
b) Existe triedro com as faces medindo respectivamente 70^circ, 90^circ e 150^circ.
c) Existe triedro com as três faces medindo 120^circ cada uma.
d) Se num triedro duas faces medem respectivamente 150^circ e 120^circ, então a terceira face é obrigatoriamente a menor.
e) Se dois triedros são congruentes, então eles são opostos pelo vértice.
f) Três semirretas de mesma origem determinam um triedro.
g) Num triedro trirretângulo cada aresta é perpendicular ao plano da face oposta.

Passo 1

O enunciado pede para classificar sete afirmações sobre triedros (ângulos formados por três semirretas concorrentes). O ponto principal é que, para que exista um triedro cujas faces (ângulos planos formados por cada par de arestas) medem A, B e C, essas medidas devem satisfazer:
  1. As desigualdades triangulares estritas
A < B + C, B < A + C, C < A + B,
pois, em termos esféricos, os lados de um triângulo esférico não podem se igualar à soma dos outros dois.
2. A soma total menor que 360^circ:
A + B + C < 360^circ
Usaremos essas condições para (a), (b), (c) e (d). Para os itens (e), (f) e (g) recorremos às definições de congruência, degenerescência de triedro e características do triedro retângulo.

Passo 2

(a) Temos ,A=40^circ, B=90^circ, C=50^circ. Note que
B stackrel?< A + C Longrightarrow 90^circ < 40^circ + 50^circ = 90^circ,
o que falha por ser igualdade. Logo o triedro seria degenerado (as três semirretas ficam coplanares). Portanto, não existe triedro não degenerado com essas faces.

Passo 3

(b) Para ,A=70^circ, B=90^circ, C=150^circ checamos:
70 < 90+150 = 240, 90 < 70+150 = 220, 150 < 70+90 = 160,
e ainda
70+90+150 = 310 < 360
Todas as condições são satisfeitas estritamente, logo existe triedro com essas faces.

Passo 4

(c) Com A=B=C=120^circ temos
A+B+C = 360^circ,
o que viola a segunda condição (deve ser estritamente menor que 360^circ). Isso dá um triedro degenerado. Portanto, não existe triedro propriamente dito com três faces de 120^circ.

Passo 5

(d) Dados dois ângulos A=150^circ e B=120^circ, a terceira face C deve obedecer
|A - B| < C < A + B e A + B + C < 360^circ
Isso dá
30^circ < C < 270^circ e C < 360 - 270 = 90^circ,
logo
30^circ < C < 90^circ
Assim C é necessariamente menor que 120^circ e menor que 150^circ. Portanto, a terceira face é obrigatoriamente a menor.

Passo 6

(e) Dois triedros são congruentes quando suas três faces correspondentes têm as mesmas medidas. Mas isso não implica que um seja o “oposto” pelo vértice (espelhado sobre o vértice) do outro — eles podem estar orientados de várias formas no espaço. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 7

(f) Três semirretas de mesma origem formam um triedro apenas se não forem coplanares. Se estiverem no mesmo plano, o triedro degenera (duas ou mais faces coincidem). Assim, nem toda escolha de três semirretas gera um triedro propriamente dito. A afirmação, dada sem ressalva, é falsa.

Passo 8

(g) Num triedro trirretângulo (cada par de arestas forma 90^circ), cada aresta é de fato perpendicular ao plano determinado pelas outras duas arestas. É uma propriedade clássica do espaço euclidiano de dimensão 3: reta perpendicular a duas retas concorrentes implica perpendicular ao plano por elas gerado. Portanto, a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) F
b) V
c) F
d) V
e) F
f) F
g) V

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