Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 8 m e 12 m e formam um ângulo de 60^circ. Calcule as diagonais.

Passo 1

O enunciado diz que temos um paralelogramo cujos dois lados consecutivos medem 8 m e 12 m, e formam um ângulo interno de 60^circ. Queremos encontrar o comprimento das duas diagonais. Para isso vamos usar representação vetorial e a fórmula do comprimento de uma soma (ou diferença) de vetores, que equivale à lei dos cossenos.

Passo 2

Sejam u e v os vetores que representam dois lados consecutivos do paralelogramo, com |u|=8, |v|=12 e ângulo entre eles de 60^circ. As diagonais correspondem aos vetores
d1 = u + v, d2 = v - u
Os comprimentos são |d1| e |d2|, que calculamos pela fórmula
|upmv|^2 = |u|^2 + |v|^2 pm 2,|u||v|cos(60^circ)

Passo 3

Calculemos cada quadrado de diagonal:
|d1|^2 = 8^2 + 12^2 + 2cdot8cdot12cos(60^circ) = 64 + 144 + 2cdot8cdot12cdot12 = 64 + 144 + 96 = 304,
|d2|^2 = 8^2 + 12^2 - 2cdot8cdot12cos(60^circ) = 64 + 144 - 96 = 112

Passo 4

Agora tiramos raiz quadrada em cada caso:
|d1| = raiz304 = 4raiz19, |d2| = raiz112 = 4raiz7

Resposta

As diagonais medem 4raiz19,m e 4raiz7,m.

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