Dê o domínio e construa o gráfico da função:
g(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}+2 x}{-x} & \text { se } x<0 \\\ \frac{x^{2}-2}{x} & \text { se } x>0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função
g(x)=\begin{cases} \dfrac{x^{2}+2x}{-x}, & x<0, \\[6pt] \dfrac{x^{2}-2}{x}, & x>0, \end{cases}
pede o domínio e o gráfico. Vamos identificar onde ela não existe, simplificar cada ramo e estudar seu comportamento para desenhar o esboço.]

Passo 2

Em x<0 o denominador é -x e em x>0 o denominador é x. Em ambos os casos precisamos de denominador não nulo, isto é, x\neq0. Logo, g não está definida em x=0.

Passo 3

Para analisar separadamente cada ramo, simplificamos as frações:
\frac{x^{2}+2x}{-x} =\frac{x(x+2)}{-x} =-(x+2)\quad(x<0),
\frac{x^{2}-2}{x} =x-\frac{2}{x}\quad(x>0).

Passo 4

Não há outras restrições além de x\neq0. Portanto o domínio é
(-\infty,0)\,\cup\,(0,\infty).

Passo 5

Para x<0,
g(x)=-x-2
é uma reta de coeficiente angular -1 e ordenada no eixo y igual a -2. Quando x\to0^-, g(x)\to-2; quando x\to-\infty, g(x)\to+\infty. Por exemplo, em x=-2 temos g(-2)=0.

Passo 6

Para x>0,
g(x)=x-\frac{2}{x}
é uma curva racional.
– Assíntota vertical em x=0 pois g(x)\to-\infty quando x\to0^+.
– Assíntota oblíqua y=x pois x-\tfrac{2}{x}=x-2/x\to x quando x\to+\infty.
– Derivada g'(x)=1+\tfrac{2}{x^{2}}>0 mostra que o ramo é estritamente crescente.
Alguns pontos: g(1)=-1, g(\sqrt2)=0, g(2)=1.

Passo 7

Esboço do gráfico:
– Para x<0, trace a reta y=-x-2, passando por (-2,0) e aproximando o ponto (0^-, -2).
– Para x>0, desenhe o ramo de y=x-2/x que sai de (0^+,-\infty), passa por (1,-1) e (\sqrt2,0), tende à reta y=x quando x\to+\infty.

Resposta

Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
O gráfico é a reta y=-x-2 para x<0 e a curva y=x-\tfrac{2}{x} para x>0, com assíntota vertical em x=0 e oblíqua y=x no ramo positivo.

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