pede o domínio e o gráfico. Vamos identificar onde ela não existe, simplificar cada ramo e estudar seu comportamento para desenhar o esboço.]
Passo 2
Em x<0 o denominador é -x e em x>0 o denominador é x. Em ambos os casos precisamos de denominador não nulo, isto é, x\neq0. Logo, g não está definida em x=0.
Passo 3
Para analisar separadamente cada ramo, simplificamos as frações:
Não há outras restrições além de x\neq0. Portanto o domínio é
(-\infty,0)\,\cup\,(0,\infty).
Passo 5
Para x<0,
g(x)=-x-2
é uma reta de coeficiente angular -1 e ordenada no eixo y igual a -2. Quando x\to0^-, g(x)\to-2; quando x\to-\infty, g(x)\to+\infty. Por exemplo, em x=-2 temos g(-2)=0.
Passo 6
Para x>0,
g(x)=x-\frac{2}{x}
é uma curva racional.
– Assíntota vertical em x=0 pois g(x)\to-\infty quando x\to0^+.
– Assíntota oblíqua y=x pois x-\tfrac{2}{x}=x-2/x\to x quando x\to+\infty.
– Derivada g'(x)=1+\tfrac{2}{x^{2}}>0 mostra que o ramo é estritamente crescente.
Alguns pontos: g(1)=-1, g(\sqrt2)=0, g(2)=1.
Passo 7
Esboço do gráfico:
– Para x<0, trace a reta y=-x-2, passando por (-2,0) e aproximando o ponto (0^-, -2).
– Para x>0, desenhe o ramo de y=x-2/x que sai de (0^+,-\infty), passa por (1,-1) e (\sqrt2,0), tende à reta y=x quando x\to+\infty.
Resposta
Domínio: (-\infty,0)\cup(0,\infty).
O gráfico é a reta y=-x-2 para x<0 e a curva y=x-\tfrac{2}{x} para x>0, com assíntota vertical em x=0 e oblíqua y=x no ramo positivo.
Cálculo - Carmem Gimenez e Rubens Starke - Introdução ao Cálculo - Vol1 - Carmem Gimenez e Rubens Starke - Introdução ao Cálculo - Vol1 - Ed2ª Edição - Capítulo 5.Exercícios Propostos - Ex. 17