Duas circunferências de centros e são tangentes externamente e tangenciam internamente uma circunferência de centro . Sendo , determine os raios dessas circunferências.
Passo 1
O enunciado nos dá duas circunferências de centros e que são tangentes externamente entre si e, ambas, tangenciam internamente uma circunferência de centro . As distâncias entre centros são
O conteúdo aqui é geometria plana, mais especificamente as relações de tangência entre círculos.
Passo 2
Para círculos tangentes externamente vale que a distância entre centros é a soma dos raios. Para círculos tangentes internamente vale que a distância entre centros é a diferença dos raios, com o raio maior menos o menor.
Passo 3
Sejam
Então as condições de tangência geram o sistema
]
Passo 4
Das duas últimas equações igualamos RC:
rA + 17 = rB + 13 Longrightarrow rB - rA = 4
Juntando com rA + rB = 12, soma-se para obter
2rB = 16 Longrightarrow rB = 8,
e daí
rA = 12 - rB = 4
Por fim,
RC = rA + 17 = 4 + 17 = 21
Resposta
O raio da circunferência de centro A é 4 m, o raio da circunferência de centro B é 8 m e o raio da circunferência de centro C é 21 m.
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 354