Duas circunferências de centros A e B são tangentes externamente e tangenciam internamente uma circunferência de centro C. Sendo A B=12 m, A C=17 m e B C=13 m, determine os raios dessas circunferências.

Passo 1

O enunciado nos dá duas circunferências de centros A e B que são tangentes externamente entre si e, ambas, tangenciam internamente uma circunferência de centro C. As distâncias entre centros são
AB = 12, AC = 17, BC = 13
O conteúdo aqui é geometria plana, mais especificamente as relações de tangência entre círculos.

Passo 2

Para círculos tangentes externamente vale que a distância entre centros é a soma dos raios. Para círculos tangentes internamente vale que a distância entre centros é a diferença dos raios, com o raio maior menos o menor.

Passo 3

Sejam
rA = raio da circunferência de centro A, rB = raio da circunferência de centro B, RC = raio da circunferência de centro C êêê
Então as condições de tangência geram o sistema
rA + rB = AB = 12,[6pt] RC - rA = AC = 17,[6pt] RC - rB = BC = 13 ]

Passo 4

Das duas últimas equações igualamos RC:
rA + 17 = rB + 13 Longrightarrow rB - rA = 4
Juntando com rA + rB = 12, soma-se para obter
2rB = 16 Longrightarrow rB = 8,
e daí
rA = 12 - rB = 4
Por fim,
RC = rA + 17 = 4 + 17 = 21

Resposta

O raio da circunferência de centro A é 4 m, o raio da circunferência de centro B é 8 m e o raio da circunferência de centro C é 21 m.

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